Questão 1 Para cada n \in \mathbb{N}, considere uma partição pontilhada do intervalo 1,2 :
1=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{i-1}<x_{i}<\cdots<x_{n}=2, x_{i}^{*} \in\left[x_{i-1}, x_{i}\right], com \Delta x=x_{i}-x_{i-1}=\frac{1}{n}. Para as somas de Riemann abaixo (nem todas são), expresse o limite \lim _{n \rightarrow \infty} S_{R}(n) em termos de uma integral:
S_{R}(n)=\sum_{i=1}^{n} x_{i} \cos x_{i}^{*} \Delta x

Passo 1

O enunciado nos apresenta uma soma de Riemann
S_{R}(n)=\sum_{i=1}^{n}x_{i}\,\cos x_{i}^{*}\,\Delta x
sobre o intervalo [1,2] com \Delta x=\tfrac{1}{n} e pontos de amostragem x_{i}^{*}\in[x_{i-1},x_{i}]. O conteúdo aqui é a ligação entre soma de Riemann e integral definida.

Passo 2

Em partições uniformes de [1,2] temos
x_{i}=1+\tfrac{i}{n},\quad \Delta x=x_{i}-x_{i-1}=\tfrac{1}{n}.
No limite n\to\infty, a soma
\sum_{i=1}^{n}x_{i}\,\cos x_{i}^{*}\,\Delta x
aproxima a integral de uma função f(x) em [1,2], onde f(x) deve satisfazer f(x_{i}^{*})=x_{i}\cos x_{i}^{*}. Como x_{i}\to x e x_{i}^{*}\to x, temos f(x)=x\cos x.

Passo 3

Pelo conceito de soma de Riemann, no limite n\to\infty
\sum_{i=1}^{n}x_{i}\cos x_{i}^{*}\,\Delta x \;\longrightarrow\; \int_{1}^{2}x\cos x\,dx.

Resposta

\lim_{n\to\infty}S_{R}(n)=\int_{1}^{2}x\cos x\,dx.

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