Questão 1 Para cada n \in \mathbb{N}, considere uma partição pontilhada do intervalo 1,2 :
1=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{i-1}<x_{i}<\cdots<x_{n}=2, x_{i}^{*} \in\left[x_{i-1}, x_{i}\right], com \Delta x=x_{i}-x_{i-1}=\frac{1}{n}. Para as somas de Riemann abaixo (nem todas são), expresse o limite \lim _{n \rightarrow \infty} S_{R}(n) em termos de uma integral:
S_{R}(n)=\sum_{i=1}^{n} \sqrt{1-\frac{x_{i}+x_{i-1}}{2}} \Delta x

Passo 1

O enunciado define, para cada n\in\mathbb{N}, uma partição uniforme de [1,2] com
\Delta x = x_i - x_{i-1} = \frac{1}{n}
e considera a soma de Riemann
S_{R}(n) \;=\;\sum_{i=1}^{n} \sqrt{1 - \frac{x_{i}+x_{i-1}}{2}}\;\Delta x.
Precisamos reconhecer essa soma como uma aproximação de integral e escrever
\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_{R}(n) em forma de integral.

Passo 2

Repare que
x_i^* \;=\;\frac{x_{i-1}+x_i}{2}
é o ponto médio do i-ésimo subintervalo. Logo podemos ver
S_{R}(n) =\sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\,\Delta x \quad\text{com}\quad f(x)=\sqrt{1 - x}.

Passo 3

Pelo conceito de soma de Riemann, ao fazermos n\to\infty (e, portanto, \Delta x\to0) a soma converge para a integral definida de f de 1 a 2. Assim,
\lim_{n\to\infty}S_{R}(n) =\int_{1}^{2}\sqrt{1 - x}\,dx.

Resposta

\int_{1}^{2}\sqrt{1 - x}\,dx

Exercícios relacionados