Questão 3 Seja
e considere a região
“abaixo” do gráfico de
, isto é,
(a) Calcule a área de
e o comprimento do gráfico de
.
(b) Calcule o volume do sólido de revolução obtido pela rotação de
em torno do eixo
.
(b) Calcule o volume do sólido de revolução obtido pela rotação de
Passo 1
O enunciado define a função
e a região
Pede-se (a) a área de
e o comprimento do gráfico de
em
, e (b) o volume do sólido obtido ao girar
em torno do eixo
. Para isso vamos usar:
– Para área: .
– Para comprimento de arco: .
– Para volume por revolução em torno de : método das cascas cilíndricas
.
– Para área:
– Para comprimento de arco:
– Para volume por revolução em torno de
Passo 2
Cálculo da área de
.
Como
, temos
Passo 3
Cálculo do comprimento do gráfico de
.
Temos , então
Temos
Mas
, logo
Passo 4
Cálculo do volume pelo método das cascas cilíndricas.
Fazemos integração por partes com
,
, de modo que
e
. Então
Avaliando de
a
,
Portanto
Resposta
Área de
:
Comprimento do gráfico:
Volume do sólido:
Comprimento do gráfico:
Volume do sólido: