Questão 3 Seja f(x)=\operatorname{cosh} x, 0 \leq x \leq 1 e considere a região R “abaixo” do gráfico de f, isto é,
R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: 0 \leq y \leq \operatorname{cosh} x, 0 \leq x \leq 1\right\}
(a) Calcule a área de R e o comprimento do gráfico de f.
(b) Calcule o volume do sólido de revolução obtido pela rotação de R em torno do eixo y.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=\operatorname{cosh} x,\quad 0\le x\le1,
e a região
R=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:0\le y\le\operatorname{cosh} x,\;0\le x\le1\}.
Pede-se (a) a área de R e o comprimento do gráfico de f em [0,1], e (b) o volume do sólido obtido ao girar R em torno do eixo y. Para isso vamos usar:
– Para área: \displaystyle A=\int_0^1f(x)\,dx.
– Para comprimento de arco: \displaystyle L=\int_0^1\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx.
– Para volume por revolução em torno de y: método das cascas cilíndricas
\displaystyle V=2\pi\int_0^1x\,f(x)\,dx.

Passo 2

Cálculo da área de R.
A=\int_{0}^{1}\operatorname{cosh} x\,dx.
Como \displaystyle\frac{d}{dx}(\operatorname{sinh} x)=\operatorname{cosh} x, temos
A=\bigl[\operatorname{sinh} x\bigr]_{0}^{1}=\operatorname{sinh}(1)-\operatorname{sinh}(0)=\operatorname{sinh}(1).

Passo 3

Cálculo do comprimento do gráfico de f.
Temos f'(x)=\operatorname{sinh} x, então
L=\int_{0}^{1}\sqrt{1+(\operatorname{sinh} x)^{2}}\,dx.
Mas \displaystyle1+\operatorname{sinh}^{2}x=\operatorname{cosh}^{2}x, logo
L=\int_{0}^{1}\operatorname{cosh} x\,dx =\bigl[\operatorname{sinh} x\bigr]_{0}^{1} =\operatorname{sinh}(1).

Passo 4

Cálculo do volume pelo método das cascas cilíndricas.
V=2\pi\int_{0}^{1}x\,\operatorname{cosh} x\,dx.
Fazemos integração por partes com u=x, dv=\operatorname{cosh} x\,dx, de modo que du=dx e v=\operatorname{sinh} x. Então
\int x\,\operatorname{cosh} x\,dx =x\,\operatorname{sinh} x-\int\operatorname{sinh} x\,dx =x\,\operatorname{sinh} x-\operatorname{cosh} x.
Avaliando de 0 a 1,
\int_{0}^{1}x\,\operatorname{cosh} x\,dx =\bigl[x\,\operatorname{sinh} x-\operatorname{cosh} x\bigr]_{0}^{1} =(1\cdot\sinh1-\cosh1)-\bigl(0-\cosh0\bigr) =\sinh1-\cosh1+1.
Portanto
V=2\pi\bigl(\sinh1-\cosh1+1\bigr).

Resposta

Área de R: \operatorname{sinh}(1)
Comprimento do gráfico: \operatorname{sinh}(1)
Volume do sólido: 2\pi\bigl(\sinh1-\cosh1+1\bigr)

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