Resolva pelo método de separação de variáveis: onde f(x)= 2 x / 10 & 0 <= x <= 5 2(10-x) / 10 & 5
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação que descreve como uma função $ u(x, t) $ muda no tempo e no espaço, conhecida como equação das ondas: $ u_{tt} = u_{xx} $. As condições que precisamos seguir são:
Condições de fronteira: $ u(0, t) = 0 $ e $ u(10, t) = 0 $
Condições iniciais: $ u(x, 0) = f(x) $ e $ u_t(x, 0) = 0 $, onde $ f(x) $ é uma função definida por partes.
Vamos usar o método de separação de variáveis para resolver isso. Esse método assume que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende só de $ x $ e outra que depende só de $ t $.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução pode ser escrita como $ u(x, t) = X(x)T(t) $. Isso significa que a parte que depende de $ x $ e a que depende de $ t $ estão separadas. Agora, vamos substituir isso na equação das ondas.
Agora, vamos separar as variáveis dividindo ambos os lados por $ X(x)T(t) $:
utt = uxx
Aqui, $ \lambda $ é uma constante separadora.
Passo 4
Agora, temos duas equações ordinárias:
Para a função $ T(t) $:
T(t)
Para a função $ X(x) $:
T''(t) + lambda T(t) = 0
Vamos focar na equação de $ X(x) $ primeiro, considerando as condições de fronteira $ X(0) = 0 $ e $ X(10) = 0 $.
Passo 5
A equação $ X’’(x) + \lambda X(x) = 0 $ é uma equação diferencial harmônica. As soluções não triviais existem apenas para valores específicos de $ \lambda $. Vamos encontrar esses valores:
Para que o seno seja zero, $ \sqrt{\lambda} \cdot 10 = n\pi $, onde $ n $ é um número inteiro positivo. Portanto:
lambda
Passo 6
Agora, vamos para a equação de $ T(t) $:
T(t)
A solução geral dessa equação é:
T''(t) + lambdan T(t) = 0
Passo 7
Juntando as soluções de $ X(x) $ e $ T(t) $, a solução geral para cada modo $ n $ é:
X(x)
Passo 8
Agora, aplicamos as condições iniciais para determinar os coeficientes $ A_n $, $ C_n $, e $ D_n $.
Condição inicial $ u(x, 0) = f(x) $:
An
Condição inicial $ u_t(x, 0) = 0 $:
Cn
Isso implica que $ D_n = 0 $ para todos os $ n $.
Passo 9
Com $ D_n = 0 $, a solução simplifica para:
Dn = 0
Agora, precisamos encontrar os coeficientes $ A_n $ que melhor se ajustam à condição inicial $ u(x, 0) = f(x) $.
Passo 10
Para determinar $ A_n $, usamos a série de Fourier. Os coeficientes são dados por:
An
Vamos dividir a integral em duas partes, conforme a definição de $ f(x) $:
An = 210 integral0^10 f(x) sin(npi10 x) dx
Passo 11
Calculando a integral para cada parte:
Para $ 0 \leq x \leq 5 $:
0 <= x <= 5
Para $ 5 < x \leq 10 $:
integral0^5 2x10 sin(npi10 x) dx
Essas integrais podem ser resolvidas por partes ou usando tabelas de integrais.
Passo 12
Após calcular as integrais, os coeficientes $ A_n $ serão determinados. Substituindo esses valores na solução geral, teremos a solução completa para $ u(x, t) $.
Resposta
A solução da equação das ondas pelo método de separação de variáveis é:
u(x, t) = sumn=1^infty An cos(npi10 t) sin(npi10 x)