Questão 3. Determine se cada sequência converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite. Justifique cada passo:
a_{n}=\frac{(-1)^{n} e^{\frac{1}{n}}}{n}

Passo 1

O enunciado dá a sequência
a_{n}=\frac{(-1)^{n} e^{\frac{1}{n}}}{n},
e pede para determinar se a sequência converge ou diverge e, se convergir, encontrar o limite.
Informações relevantes fornecidas:
  • A sequência é definida para n\in\mathbb{N} (assume-se n\ge1).
  • O numerador contém um fator oscilante (-1)^{n} e um fator e^{\frac{1}{n}}.
  • O denominador é n, que tende a infinito quando n\to\infty.

Passo 2

Analisar o comportamento do fator e^{\frac{1}{n}}. Primeiro note que
\frac{1}{n}\xrightarrow[n\to\infty]{}0.
A função exponencial x\mapsto e^{x} é contínua em todo \mathbb{R}. Por continuidade, se x_n\to 0 então e^{x_n}\to e^{0}=1. Aplicando isso com x_n=\dfrac{1}{n} obtemos
e^{\frac{1}{n}}\xrightarrow[n\to\infty]{}1.
Isso significa que, para n grande, e^{\frac{1}{n}} está perto de 1; em particular é limitado (por exemplo, para todo n\ge1 vale \,e^{\frac{1}{n}}\le e).

Passo 3

Observar o fator oscilante (-1)^{n}. Esse fator assume apenas os valores +1 ou -1, portanto é um número limitado: para todo n tem-se
\big|(-1)^{n}\big|=1.
Combinando com o passo anterior, o produto (-1)^{n}e^{\frac{1}{n}} também é limitado: para todo n\ge1,
\big|(-1)^{n}e^{\frac{1}{n}}\big| = e^{\frac{1}{n}} \le e.

Passo 4

Estudar agora a_n por meio do seu valor absoluto. Temos
|a_{n}|=\frac{\big|(-1)^{n}e^{\frac{1}{n}}\big|}{n}=\frac{e^{\frac{1}{n}}}{n}.
Usando a desigualdade e^{\frac{1}{n}}\le e (válida para todo n\ge1), obtemos
0\le |a_{n}|\le \frac{e}{n}.
Sabemos que
\frac{e}{n}\xrightarrow[n\to\infty]{}0
porque 1/n\to0 e multiplicar por e (constante) não muda o limite. Assim temos uma majorante que tende a zero.

Passo 5

Aplicar o Teorema do Aperto (squeeze theorem). Como 0\le |a_{n}|\le e/n para todo n e \,e/n\to0, segue que
|a_{n}|\xrightarrow[n\to\infty]{}0.
Se o módulo de uma sequência tende a zero, a própria sequência tende a zero. Logo
a_{n}\xrightarrow[n\to\infty]{}0.

Passo 6

(Comentário alternativo — mesma conclusão por outra ideia) Outra maneira de ver: escreva
a_n = \underbrace{(-1)^{n}e^{\frac{1}{n}}}_{\text{sequência limitada}} \cdot \underbrace{\frac{1}{n}}_{\to 0}.ê
Produto de uma sequência limitada por uma sequência que converge a zero tende a zero. Isso confirma a conclusão do passo anterior.

Passo 7

Interpretação intuitiva e exemplos rápidos para fixar: o fator oscilante (-1)^n só muda o sinal, mas seu módulo é 1; o fator e^{1/n} tende a 1; o denominador n cresce sem limite, empurrando o valor total para zero. Exemplos semelhantes que convergem para zero: (-1)^n/n\to0, (\cos n)/n\to0, e^{1/n}/n\to0.

Resposta

Converge; limite \,0

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