Questão 3. Determine se cada sequência converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite. Justifique cada passo: a_{n}=\frac{(-1)^{n}
e^{\frac{1}{n}}}{n}
Passo 1
O enunciado dá a sequência
a_{n}=\frac{(-1)^{n} e^{\frac{1}{n}}}{n},
e pede para determinar se a sequência converge ou diverge e, se convergir, encontrar o limite.
Informações relevantes fornecidas:
A sequência é definida para n\in\mathbb{N} (assume-se n\ge1).
O numerador contém um fator oscilante (-1)^{n} e um fator e^{\frac{1}{n}}.
O denominador é n, que tende a infinito quando n\to\infty.
Passo 2
Analisar o comportamento do fator e^{\frac{1}{n}}. Primeiro note que
\frac{1}{n}\xrightarrow[n\to\infty]{}0.
A função exponencial x\mapsto e^{x} é contínua em todo \mathbb{R}. Por continuidade, se x_n\to 0 então e^{x_n}\to e^{0}=1. Aplicando isso com x_n=\dfrac{1}{n} obtemos
e^{\frac{1}{n}}\xrightarrow[n\to\infty]{}1.
Isso significa que, para n grande, e^{\frac{1}{n}} está perto de 1; em particular é limitado (por exemplo, para todo n\ge1 vale \,e^{\frac{1}{n}}\le e).
Passo 3
Observar o fator oscilante (-1)^{n}. Esse fator assume apenas os valores +1 ou -1, portanto é um número limitado: para todo n tem-se
\big|(-1)^{n}\big|=1.
Combinando com o passo anterior, o produto (-1)^{n}e^{\frac{1}{n}} também é limitado: para todo n\ge1,
\big|(-1)^{n}e^{\frac{1}{n}}\big| = e^{\frac{1}{n}} \le e.
Passo 4
Estudar agora a_n por meio do seu valor absoluto. Temos
Produto de uma sequência limitada por uma sequência que converge a zero tende a zero. Isso confirma a conclusão do passo anterior.
Passo 7
Interpretação intuitiva e exemplos rápidos para fixar: o fator oscilante (-1)^n só muda o sinal, mas seu módulo é 1; o fator e^{1/n} tende a 1; o denominador n cresce sem limite, empurrando o valor total para zero. Exemplos semelhantes que convergem para zero: (-1)^n/n\to0, (\cos n)/n\to0, e^{1/n}/n\to0.