Questão 5. Para cada série, aplique PRIMEIRO o Teste da Divergência. Se inconclusivo, aplique o teste mais adequado. Indique claramente qual teste usou e por quê:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n}+5}

Passo 1

O enunciado pede para testar a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n}+5}.
Informações dadas e o que preciso responder:
  • A soma é uma série numérica com termos a_n=\dfrac{1}{2^{n}+5}.
  • Instruição: aplicar PRIMEIRO o Teste da Divergência. Se esse teste for inconclusivo, aplicar o teste mais adequado e justificar qual teste foi usado e por quê.
  • Observação óbvia que vou usar: para poder aplicar certos testes de comparação preciso que os termos sejam não-negativos; aqui a_n>0 para todo n.

Passo 2

Aplicando o Teste da Divergência (também chamado de teste do termo geral).
A regra do Teste da Divergência diz: se
\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0
ou não existe, então a série \sum a_n diverge. Se \lim_{n\to\infty} a_n = 0, o teste é inconclusivo (a série pode convergir ou divergir).
Calculo o limite do termo geral:
a_n=\frac{1}{2^{n}+5}.
Como 2^{n}\to\infty quando n\to\infty, o denominador 2^{n}+5\to\infty. Portanto
\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{2^{n}+5} = 0.
Conclusão deste passo: o Teste da Divergência é inconclusivo porque o limite do termo geral é 0. Preciso aplicar outro teste.

Passo 3

Escolhendo um teste adequado.
Observação intuitiva: o denominador (2^{n}+5) cresce exponencialmente com n, muito parecido com 2^{n}. Uma série natural para comparar é a série geométrica
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n}},
pois sabemos que séries geométricas com razão |r|<1 convergem. Então faz sentido usar o Critério da Comparação Limite (Limit Comparison Test) com b_n=\dfrac{1}{2^{n}}.
Vou explicar o que é o Critério da Comparação Limite:
  • Se a_n>0 e b_n>0 para todo n e existe o limite finito e positivo
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n},
com 0< L < \infty, então \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento: ou ambas convergem ou ambas divergem.
Aqui a_n=\dfrac{1}{2^{n}+5} e b_n=\dfrac{1}{2^{n}} são positivos, então o critério pode ser aplicado se o limite existir e for finito e positivo.
Também lembro rapidamente da série geométrica: para |r|<1,
\sum_{n=0}^{\infty} ar^{n}=\frac{a}{1-r}.
No nosso caso, \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{2^{n}} é geométrica com primeiro termo \dfrac{1}{2} e razão r=\dfrac{1}{2}, logo converge (a soma é \dfrac{1/2}{1-1/2}=1, mas só preciso saber que converge).

Passo 4

Aplicando o Critério da Comparação Limite.
Calculo o limite
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{1}{2^{n}+5}}{\dfrac{1}{2^{n}}} = \lim_{n\to\infty}\frac{2^{n}}{2^{n}+5}.
Faço uma manipulação para ver o comportamento quando n\to\infty. Divido numerador e denominador por 2^{n}:
\frac{2^{n}}{2^{n}+5} = \frac{1}{1+\dfrac{5}{2^{n}}}.
Como \dfrac{5}{2^{n}}\to 0 quando n\to\infty, obtemos
\lim_{n\to\infty}\frac{2^{n}}{2^{n}+5} = \frac{1}{1+0} = 1.
Logo o limite L=1, que é um número finito e positivo ( 0< L<\infty). Pelas hipóteses do critério, \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento.
Como já sabemos que
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n}}
é convergente (série geométrica com razão 1/2), concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n}+5}
também converge.

Passo 5

Interpretação final e comentário didático rápido.
  • O Teste da Divergência mostrou apenas que o termo geral tende a 0, o que é necessário mas não suficiente para convergência.
  • A comparação limite com a série geométrica foi a escolha natural porque o termo dominante no denominador é 2^{n} (crescimento exponencial).
  • O limite entre os termos das duas séries deu 1, indicando que os termos são assintoticamente equivalentes, então elas compartilham convergência.
  • Como todos os termos são positivos, não há questão de convergência condicional: a série converge de forma simples (positiva), que pode ser chamada de convergência absoluta (mas para séries de termos positivos isso é redundante).

Resposta

A série converge (por critério da comparação limite com \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{2^{n}}, pois \lim_{n\to\infty}\dfrac{1/(2^{n}+5)}{1/2^{n}}=1).

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