Questão 5. Para cada série, aplique PRIMEIRO o Teste da Divergência. Se inconclusivo, aplique o teste mais adequado. Indique claramente qual teste usou e por quê:
Passo 1
O enunciado pede para testar a série
Informações dadas e o que preciso responder:
- A soma é uma série numérica com termos
. - Instruição: aplicar PRIMEIRO o Teste da Divergência. Se esse teste for inconclusivo, aplicar o teste mais adequado e justificar qual teste foi usado e por quê.
- Observação óbvia que vou usar: para poder aplicar certos testes de comparação preciso que os termos sejam não-negativos; aqui
para todo .
Passo 2
Aplicando o Teste da Divergência (também chamado de teste do termo geral).
A regra do Teste da Divergência diz: se
ou não existe, então a série
diverge. Se
, o teste é inconclusivo (a série pode convergir ou divergir).
Calculo o limite do termo geral:
Como
quando
, o denominador
. Portanto
Conclusão deste passo: o Teste da Divergência é inconclusivo porque o limite do termo geral é
. Preciso aplicar outro teste.
Passo 3
Escolhendo um teste adequado.
Observação intuitiva: o denominador
cresce exponencialmente com
, muito parecido com
. Uma série natural para comparar é a série geométrica
pois sabemos que séries geométricas com razão
convergem. Então faz sentido usar o Critério da Comparação Limite (Limit Comparison Test) com
.
Vou explicar o que é o Critério da Comparação Limite:
- Se
e para todo e existe o limite finito e positivo
com
, então
e
têm o mesmo comportamento: ou ambas convergem ou ambas divergem.
Aqui e
são positivos, então o critério pode ser aplicado se o limite existir e for finito e positivo.
Aqui
Também lembro rapidamente da série geométrica: para
,
No nosso caso,
é geométrica com primeiro termo
e razão
, logo converge (a soma é
, mas só preciso saber que converge).
Passo 4
Aplicando o Critério da Comparação Limite.
Calculo o limite
Faço uma manipulação para ver o comportamento quando
. Divido numerador e denominador por
:
Como
quando
, obtemos
Logo o limite
, que é um número finito e positivo (
). Pelas hipóteses do critério,
e
têm o mesmo comportamento.
Como já sabemos que
é convergente (série geométrica com razão
), concluímos que
também converge.
Passo 5
Interpretação final e comentário didático rápido.
- O Teste da Divergência mostrou apenas que o termo geral tende a
, o que é necessário mas não suficiente para convergência. - A comparação limite com a série geométrica foi a escolha natural porque o termo dominante no denominador é
(crescimento exponencial). - O limite entre os termos das duas séries deu
, indicando que os termos são assintoticamente equivalentes, então elas compartilham convergência. - Como todos os termos são positivos, não há questão de convergência condicional: a série converge de forma simples (positiva), que pode ser chamada de convergência absoluta (mas para séries de termos positivos isso é redundante).
Resposta
A série converge (por critério da comparação limite com
, pois
).