Questão 5. Para cada série, aplique PRIMEIRO o Teste da Divergência. Se inconclusivo, aplique o teste mais adequado. Indique claramente qual teste usou e por quê:
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série cuja termo geral é
A instrução é: aplicar PRIMEIRO o Teste da Divergência (ou Teste do termo geral). Se esse teste for inconclusivo, aplicar o teste mais adequado e justificar. Vou proceder exatamente nessa ordem.
Informações relevantes dadas:
- A série em questão é
com . - Preciso verificar primeiro se
(nesse caso a série diverge). Se , o Teste da Divergência é inconclusivo e devo aplicar outro teste.
Passo 2
Aplicando o Teste da Divergência: preciso calcular
.
Uma forma direta de ver o comportamento de
é analisar a razão entre termos sucessivos
; se essa razão tende a
ou a um número menor que
então os termos
vão para zero. Vou calcular essa razão explicitamente.
Escrevendo
e
:
A razão é
Passo 3
Vou simplificar a razão passo a passo. Note que
. Assim,
Agora simplifico
. Faço isso escrevendo
Substituindo na razão,
Observe que
, então o fator
cancela:
Passo 4
Agora calculo o limite da razão quando
. Dois fatos conhecidos que vou usar:
-
, onde é a base do logaritmo natural. -
.
Portanto
Como a razão entre termos sucessivos tende a
, isso implica que os termos
tendem a
. Logo
Conclusão do Teste da Divergência: o limite do termo geral é
, então o Teste da Divergência é inconclusivo (não permite concluir divergência).
Passo 5
Como o Teste da Divergência foi inconclusivo, aplico agora o Teste da Razão (Ratio Test), que é adequado quando lidamos com fatoriais e potências — é um teste simples e eficaz aqui. Vou reusar a razão que já calculei:
O Teste da Razão diz: se
existe e
, então a série
converge absolutamente; se
(ou
) diverge; se
é inconclusivo.
Já calculamos esse limite e obtivemos
. Como
, pelo Teste da Razão a série converge absolutamente.
Passo 6
Vou explicar um pouco didaticamente por que o resultado do Teste da Razão implica convergência: quando a razão entre termos sucessivos tende a um número estritamente menor que
, a cauda da série se comporta, a partir de algum
, como uma progressão geométrica com razão estritamente menor que
. Séries geométricas com razão menor que
convergem, então a série original também converge. No nosso caso a razão tende a
, que é o melhor cenário possível — os termos caem superrápido.
Resposta
A série converge absolutamente.