Questão 5. Para cada série, aplique PRIMEIRO o Teste da Divergência. Se inconclusivo, aplique o teste mais adequado. Indique claramente qual teste usou e por quê:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{\mathrm{n}}}{(2 n)!}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série cuja termo geral é
a_n=\frac{n^{n}}{(2n)!},\quad n=1,2,3,\dots
A instrução é: aplicar PRIMEIRO o Teste da Divergência (ou Teste do termo geral). Se esse teste for inconclusivo, aplicar o teste mais adequado e justificar. Vou proceder exatamente nessa ordem.
Informações relevantes dadas:
  • A série em questão é \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n com a_n=\dfrac{n^{n}}{(2n)!}.
  • Preciso verificar primeiro se \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n\neq 0 (nesse caso a série diverge). Se \lim_{n\to\infty} a_n=0, o Teste da Divergência é inconclusivo e devo aplicar outro teste.

Passo 2

Aplicando o Teste da Divergência: preciso calcular \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n.
Uma forma direta de ver o comportamento de a_n é analisar a razão entre termos sucessivos a_{n+1}/a_n; se essa razão tende a 0 ou a um número menor que 1 então os termos a_n vão para zero. Vou calcular essa razão explicitamente.
Escrevendo a_n e a_{n+1}:
a_n=\frac{n^{n}}{(2n)!},\qquad a_{n+1}=\frac{(n+1)^{\,n+1}}{(2n+2)!}.
A razão é
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)^{\,n+1}}{(2n+2)!}\cdot\frac{(2n)!}{n^{n}}.

Passo 3

Vou simplificar a razão passo a passo. Note que (2n+2)!=(2n+2)(2n+1)(2n)!. Assim,
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)^{\,n+1}}{n^{n}}\cdot\frac{1}{(2n+2)(2n+1)}.
Agora simplifico \dfrac{(n+1)^{\,n+1}}{n^{n}}. Faço isso escrevendo
\frac{(n+1)^{\,n+1}}{n^{n}}=(n+1)\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n}=(n+1)\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}.
Substituindo na razão,
\frac{a_{n+1}}{a_n}=(n+1)\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\cdot\frac{1}{(2n+2)(2n+1)}.
Observe que 2n+2=2(n+1), então o fator (n+1) cancela:
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}}{2(2n+1)}.

Passo 4

Agora calculo o limite da razão quando n\to\infty. Dois fatos conhecidos que vou usar:
  • \displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e, onde e é a base do logaritmo natural.
  • \displaystyle\lim_{n\to\infty}(2n+1)=\infty.
Portanto
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}}{2(2n+1)}=\frac{e}{\infty}=0.
Como a razão entre termos sucessivos tende a 0, isso implica que os termos a_n tendem a 0. Logo
\lim_{n\to\infty} a_n = 0.
Conclusão do Teste da Divergência: o limite do termo geral é 0, então o Teste da Divergência é inconclusivo (não permite concluir divergência).

Passo 5

Como o Teste da Divergência foi inconclusivo, aplico agora o Teste da Razão (Ratio Test), que é adequado quando lidamos com fatoriais e potências — é um teste simples e eficaz aqui. Vou reusar a razão que já calculei:
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}}{2(2n+1)}.
O Teste da Razão diz: se \displaystyle L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} existe e L<1, então a série \sum a_n converge absolutamente; se L>1 (ou =\infty) diverge; se L=1 é inconclusivo.
Já calculamos esse limite e obtivemos L=0. Como 0<1, pelo Teste da Razão a série converge absolutamente.

Passo 6

Vou explicar um pouco didaticamente por que o resultado do Teste da Razão implica convergência: quando a razão entre termos sucessivos tende a um número estritamente menor que 1, a cauda da série se comporta, a partir de algum N, como uma progressão geométrica com razão estritamente menor que 1. Séries geométricas com razão menor que 1 convergem, então a série original também converge. No nosso caso a razão tende a 0, que é o melhor cenário possível — os termos caem superrápido.

Resposta

A série converge absolutamente.

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