Questão 5. Para cada série, aplique PRIMEIRO o Teste da Divergência. Se inconclusivo, aplique o teste mais adequado. Indique claramente qual teste usou e por quê:
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{\mathrm{n}} \cdot \frac{n^{3}}{4^{\mathrm{n}}}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n}\,\frac{n^{3}}{4^{n}}
e pede que apliquemos PRIMEIRO o Teste da Divergência; se esse teste for inconclusivo, aplicar o teste mais adequado e indicar qual foi usado e por quê.
Informações úteis extraídas do enunciado:
  • O termo geral é u_{n}=(-1)^{n}\dfrac{n^{3}}{4^{n}}.
  • Os sinais alternam (por causa de (-1)^{n}).
  • A parte positiva dos termos (valor absoluto) é a_{n}=\dfrac{n^{3}}{4^{n}}.
  • O objetivo final é decidir se a série converge ou diverge e, se possível, dizer que tipo de convergência (condicional ou absoluta).

Passo 2

Aplicando o Teste da Divergência (teste do termo geral).
Resumo do teste (regra): se \lim_{n\to\infty} u_{n}\neq 0 então a série diverge. Se \lim_{n\to\infty} u_{n}=0 o teste é inconclusivo (a série pode convergir ou divergir).
Calcular \lim_{n\to\infty} u_{n}. É mais simples estudar o módulo a_{n}=\dfrac{n^{3}}{4^{n}} e mostrar que a_{n}\to 0; então u_{n}\to 0 também (pois |u_n|=a_n).
Para mostrar a_{n}\to 0 use o quociente entre termos consecutivos:
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{\dfrac{(n+1)^{3}}{4^{\,n+1}}}{\dfrac{n^{3}}{4^{n}}} = \left(\frac{n+1}{n}\right)^{3}\cdot\frac{1}{4} = \left(1+\frac{1}{n}\right)^{3}\cdot\frac{1}{4}.
Tomando limite em n\to\infty,
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = 1\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{4}<1.
Quando o quociente entre termos consecutivos tende a um número menor que 1, isso implica que a_{n}\to 0. Portanto
\lim_{n\to\infty} u_{n}=0,
e o Teste da Divergência fica inconclusivo (isto é, não podemos decidir a convergência só com esse teste).

Passo 3

Escolha do próximo teste: teste da razão (Ratio Test) para convergência absoluta.
Por que escolhi o Teste da Razão? Aqui os termos envolvem uma potência exponencial 4^{n} no denominador e um polinômio n^{3} no numerador. O Teste da Razão é especialmente prático quando aparecem fatores exponenciais, porque o quociente \dfrac{a_{n+1}}{a_n} costuma simplificar bem. Além disso quero verificar convergência absoluta (isto é, da série dos módulos \sum a_n), porque se a soma dos módulos converge então a série original converge absolutamente e estamos resolvidos.
Enunciado do Teste da Razão (para séries com a_n\ge 0): definir
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}.
  • Se L<1 então \sum a_n converge (logo a série original converge absolutamente).
  • Se L>1 então \sum a_n diverge.
  • Se L=1 o teste é inconclusivo.
Aqui a_{n}=\dfrac{n^{3}}{4^{n}} é não-negativo, então o teste se aplica diretamente.

Passo 4

Aplicando o Teste da Razão aos módulos a_{n}=\dfrac{n^{3}}{4^{n}}.
Calculei já parcialmente o quociente no Passo 2, repito de forma organizada:
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \left(1+\frac{1}{n}\right)^{3}\cdot\frac{1}{4}.
Agora tomo o limite:
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{3}\cdot\frac{1}{4} = 1\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{4}.
Temos L=\dfrac{1}{4}<1. Pelo Teste da Razão, a série \sum_{n=1}^\infty a_{n}=\sum_{n=1}^\infty \dfrac{n^{3}}{4^{n}} converge. Ou seja, a série dos módulos converge, portanto a série original converge absolutamente.
Observação didática curta: convergência absoluta é uma propriedade mais forte do que convergência simples; se \sum |u_n| converge então \sum u_n converge. Nesse caso não é necessário usar o Critério de Leibniz para séries alternadas porque já mostramos convergência absoluta.

Passo 5

Conclusão final e interpretação prática.
  • Primeiro usamos o Teste da Divergência: o termo geral u_n tende a 0, então o teste foi inconclusivo.
  • Em seguida usamos o Teste da Razão sobre os módulos a_n=\dfrac{n^{3}}{4^{n}}. Obtivemos L=\dfrac{1}{4}<1, portanto a série dos módulos converge.
  • Logo a série original converge absolutamente; em particular, converge.
Força aí — essa série é das “boas”: o 4^{n} vence o n^{3} rapidinho, por isso a soma converge.

Resposta

A série converge absolutamente; portanto converge.

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