Questão 5. Para cada série, aplique PRIMEIRO o Teste da Divergência. Se inconclusivo, aplique o teste mais adequado. Indique claramente qual teste usou e por quê:
Passo 1
O enunciado nos dá a série
e pede que apliquemos PRIMEIRO o Teste da Divergência; se esse teste for inconclusivo, aplicar o teste mais adequado e indicar qual foi usado e por quê.
Informações úteis extraídas do enunciado:
- O termo geral é
. - Os sinais alternam (por causa de
). - A parte positiva dos termos (valor absoluto) é
. - O objetivo final é decidir se a série converge ou diverge e, se possível, dizer que tipo de convergência (condicional ou absoluta).
Passo 2
Aplicando o Teste da Divergência (teste do termo geral).
Resumo do teste (regra): se
então a série diverge. Se
o teste é inconclusivo (a série pode convergir ou divergir).
Calcular
. É mais simples estudar o módulo
e mostrar que
; então
também (pois
).
Para mostrar
use o quociente entre termos consecutivos:
Tomando limite em
,
Quando o quociente entre termos consecutivos tende a um número menor que
, isso implica que
. Portanto
e o Teste da Divergência fica inconclusivo (isto é, não podemos decidir a convergência só com esse teste).
Passo 3
Escolha do próximo teste: teste da razão (Ratio Test) para convergência absoluta.
Por que escolhi o Teste da Razão? Aqui os termos envolvem uma potência exponencial
no denominador e um polinômio
no numerador. O Teste da Razão é especialmente prático quando aparecem fatores exponenciais, porque o quociente
costuma simplificar bem. Além disso quero verificar convergência absoluta (isto é, da série dos módulos
), porque se a soma dos módulos converge então a série original converge absolutamente e estamos resolvidos.
Enunciado do Teste da Razão (para séries com
): definir
- Se
então converge (logo a série original converge absolutamente). - Se
então diverge. - Se
o teste é inconclusivo.
Aqui
é não-negativo, então o teste se aplica diretamente.
Passo 4
Aplicando o Teste da Razão aos módulos
.
Calculei já parcialmente o quociente no Passo 2, repito de forma organizada:
Agora tomo o limite:
Temos
. Pelo Teste da Razão, a série
converge. Ou seja, a série dos módulos converge, portanto a série original converge absolutamente.
Observação didática curta: convergência absoluta é uma propriedade mais forte do que convergência simples; se
converge então
converge. Nesse caso não é necessário usar o Critério de Leibniz para séries alternadas porque já mostramos convergência absoluta.
Passo 5
Conclusão final e interpretação prática.
- Primeiro usamos o Teste da Divergência: o termo geral
tende a , então o teste foi inconclusivo. - Em seguida usamos o Teste da Razão sobre os módulos
. Obtivemos , portanto a série dos módulos converge. - Logo a série original converge absolutamente; em particular, converge.
Força aí — essa série é das “boas”: o
vence o
rapidinho, por isso a soma converge.
Resposta
A série converge absolutamente; portanto converge.