Questão 5. Para cada série, aplique PRIMEIRO o Teste da Divergência. Se inconclusivo, aplique o teste mais adequado. Indique claramente qual teste usou e por quê:
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(3 k-1)^{\mathrm{k}}}{(2 k+3)^{\mathrm{k}}}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(3k-1)^{k}}{(2k+3)^{k}}
e pede que eu aplique PRIMEIRO o Teste da Divergência. Informação relevante extraída do enunciado:
  • O termo geral da série é \displaystyle a_k=\frac{(3k-1)^{k}}{(2k+3)^{k}}=\left(\frac{3k-1}{2k+3}\right)^{k}.
    A pergunta é: a série converge ou diverge? Primeiro usar o Teste da Divergência; se esse teste for inconclusivo, aplicar outro teste adequado.

Passo 2

Enunciando o Teste da Divergência (lembrando devagarinho): se \displaystyle\lim_{k\to\infty} a_k \neq 0 (incluindo o caso de limite infinito ou inexistente), então a série \sum a_k diverge. Se \displaystyle\lim_{k\to\infty} a_k = 0, o teste é inconclusivo.
Portanto vou calcular \displaystyle\lim_{k\to\infty} a_k para ver se é zero ou não. Reescrevendo o termo geral:
a_k=\left(\frac{3k-1}{2k+3}\right)^{k}.
Como a expressão tem potência com k no expoente e a base depende de k, o jeito direto e seguro é tomar logaritmo natural para estudar o comportamento.

Passo 3

Defino \displaystyle b_k=\ln a_k. Então
b_k = k\ln\!\left(\frac{3k-1}{2k+3}\right).
Para entender b_k faço uma decomposição útil: escrevo a base como \dfrac{3k-1}{2k+3}=\dfrac{3}{2}\cdot(1+d_k) e encontro d_k exatamente.
Calculo a diferença
\frac{3k-1}{2k+3}-\frac{3}{2}=\frac{2(3k-1)-3(2k+3)}{2(2k+3)}=\frac{-11}{4k+6}.
Dividindo por 3/2 obtenho d_k:
d_k=\frac{\frac{3k-1}{2k+3}}{3/2}-1=\frac{-11}{6k+9}.
Logo
\frac{3k-1}{2k+3}=\frac{3}{2}\,(1+d_k),\qquad d_k=-\frac{11}{6k+9}.
Substituindo em b_k:
b_k=k\ln\!\left(\frac{3}{2}\right)+k\ln(1+d_k).
Agora analiso cada termo:
  • Como \ln\!\left(\dfrac{3}{2}\right)>0, o termo k\ln\!\left(\dfrac{3}{2}\right) cresce para +\infty quando k\to\infty.
  • Para o segundo termo uso que d_k\to 0 e a expansão principal \ln(1+u)\sim u quando u\to0. Assim
\lim_{k\to\infty} k\ln(1+d_k)=\lim_{k\to\infty} k d_k =\lim_{k\to\infty}\left(-\frac{11k}{6k+9}\right)=-\frac{11}{6}.
Portanto
b_k = k\ln\!\left(\frac{3}{2}\right) + k\ln(1+d_k)\longrightarrow +\infty -\frac{11}{6}=+\infty.
Como b_k=\ln a_k\to+\infty, segue que a_k=e^{b_k}\to+\infty. Ou seja, os termos da série não só não tendem a zero, como tendem a infinito.

Passo 4

Pelo Teste da Divergência: como \displaystyle\lim_{k\to\infty} a_k \neq 0 (na verdade \displaystyle a_k\to+\infty), a série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(3k-1)^{k}}{(2k+3)^{k}}
diverge. Não há necessidade de aplicar outros testes porque o Teste da Divergência já foi conclusivo.

Resposta

A série diverge.

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