Questão 5. Para cada série, aplique PRIMEIRO o Teste da Divergência. Se inconclusivo, aplique o teste mais adequado. Indique claramente qual teste usou e por quê:
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede que eu aplique PRIMEIRO o Teste da Divergência. Informação relevante extraída do enunciado:
- O termo geral da série é
.
A pergunta é: a série converge ou diverge? Primeiro usar o Teste da Divergência; se esse teste for inconclusivo, aplicar outro teste adequado.
Passo 2
Enunciando o Teste da Divergência (lembrando devagarinho): se
(incluindo o caso de limite infinito ou inexistente), então a série
diverge. Se
, o teste é inconclusivo.
Portanto vou calcular para ver se é zero ou não. Reescrevendo o termo geral:
Portanto vou calcular
Como a expressão tem potência com
no expoente e a base depende de
, o jeito direto e seguro é tomar logaritmo natural para estudar o comportamento.
Passo 3
Defino
. Então
Para entender
faço uma decomposição útil: escrevo a base como
e encontro
exatamente.
Calculo a diferença
Calculo a diferença
Dividindo por
obtenho
:
Logo
Substituindo em
:
Agora analiso cada termo:
- Como
, o termo cresce para quando . - Para o segundo termo uso que
e a expansão principal quando . Assim
Portanto
Como
, segue que
. Ou seja, os termos da série não só não tendem a zero, como tendem a infinito.
Passo 4
Pelo Teste da Divergência: como
(na verdade
), a série
diverge. Não há necessidade de aplicar outros testes porque o Teste da Divergência já foi conclusivo.
Resposta
A série diverge.