Questão 6. Para as séries alternadas, verifique as duas condições do Teste da Série Alternada; (ii) determine se é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{\mathrm{n}}}{\sqrt{n}}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}
e pede duas coisas:
  • Verificar as duas condições do Teste da Série Alternada (também chamado de teste de Leibniz).
  • Determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Informações explícitas que temos:
  • O fator alternante é (-1)^{n}.
  • Os módulos dos termos são b_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}}, que são números positivos.

Passo 2

Enunciando o Teste da Série Alternada (Leibniz) de forma clara e didática:
  • Seja uma série alternada da forma \sum (-1)^{n} b_n com b_n\ge 0.
  • O teste afirma: se (i) a sequência (b_n) é monotonicamente não crescente (eventualmente decrescente) e (ii) \lim_{n\to\infty} b_n = 0, então a série converge.
    Explicando cada condição:
  • Condição (i): “monótona não crescente” significa que existe N tal que para todo n\ge N vale b_{n+1}\le b_n. Na prática, para séries com fórmulas simples normalmente conseguimos mostrar isso para todo n.
  • Condição (ii): o termo geral em módulo deve tender a zero — se não tender a zero, a série não pode convergir.

Passo 3

Identificar a sequência b_n para esta série:
b_n=\frac{1}{\sqrt{n}},\qquad b_n>0\\ \text{para todo }n.
Vamos verificar a condição (i), monotonicidade.
Mostrar que b_{n+1}<b_n para todo n\ge1. Compare:
\frac{1}{\sqrt{n+1}} \quad\text{e}\quad \frac{1}{\sqrt{n}}.
Como \sqrt{n+1}>\sqrt{n} para todo n\ge1, ao tomar reciprocais obtemos
\frac{1}{\sqrt{n+1}}<\frac{1}{\sqrt{n}}.
Portanto b_{n+1}<b_n para todo n; assim (b_n) é estritamente decrescente. Condição (i) verificada.

Passo 4

Verificar a condição (ii), que é o limite:
\lim_{n\to\infty} b_n=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}=0.
Uma justificativa \varepsilon- N rápida e didática: dado \varepsilon>0, escolha N>\dfrac{1}{\varepsilon^{2}}. Então, para n\ge N,
\frac{1}{\sqrt{n}}\le\frac{1}{\sqrt{N}}<\varepsilon.
Logo \lim_{n\to\infty}1/\sqrt{n}=0. Condição (ii) verificada.

Passo 5

Aplicando o Teste da Série Alternada (Leibniz): como ambas as condições (i) e (ii) são satisfeitas, concluímos que a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}
converge (isto é, converge como série alternada).
Observação prática útil para prova: os primeiros termos têm sinais alternados porque (-1)^n muda de sinal a cada n; aqui o primeiro termo ( n=1) é negativo, depois positivo, e assim por diante.

Passo 6

Testando a convergência absoluta: consideramos a série dos módulos
\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}=\sum_{n=1}^{\infty}n^{-1/2}.
Esta é uma série-p com expoente p=\tfrac{1}{2}. Lembrando o resultado padrão sobre séries-p:
  • \sum n^{-p} converge se, e somente se, p>1.
    Aqui p=\tfrac{1}{2}\le 1, logo a série-p diverge.
Uma justificativa alternativa (teste da integral): avaliar \int_{1}^{\infty} x^{-1/2}\,dx = \lim_{T\to\infty} 2(\sqrt{T}-1)=\infty, portanto a série \sum n^{-1/2} diverge pelo teste da integral. Em qualquer caso, \sum 1/\sqrt{n} diverge, então a série original NÃO é absolutamente convergente.

Passo 7

Conclusão final sobre o tipo de convergência: a série converge (pelo teste de Leibniz), mas não converge absolutamente (porque \sum 1/\sqrt{n} diverge). Portanto a convergência é condicional.
Força aí — você já tem o padrão para aplicar o teste de Leibniz em qualquer série alternada: mostrar que os módulos decrescem e vão a zero; depois checar a série dos módulos para ver se há convergência absoluta ou não.

Resposta

\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}} satisfaz as condições do Teste da Série Alternada (monótona decrescente em módulo e termo geral nulo), logo converge.
Não é absolutamente convergente (pois \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{\sqrt{n}} diverge); portanto é condicionalmente convergente.

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