Questão 3 - Cada um dos sinais abaixo é uma entrada contínua que será digitalizada por um conversor A/D, com período de amostragem T especificado. Em cada caso determine o sinal discreto x[n].
x_{c}(t)=25 . \cos (1000 \pi t) / \pi t ; T=50 \mu \mathrm{~s}

Passo 1

O enunciado dá o sinal contínuo
x_{c}(t) = 25\,\frac{\cos\bigl(1000\pi\,t\bigr)}{\pi\,t}
e o período de amostragem T = 50{,} \mu\text{s}. Queremos o sinal discreto
x[n] = x_{c}\bigl(nT\bigr).

Passo 2

Substituímos t = nT em x_{c}(t). Assim
x[n] = 25\,\frac{\cos\bigl(1000\pi\,(nT)\bigr)}{\pi\,(nT)}.

Passo 3

Calculamos o produto 1000\pi\,T:
1000\pi\,T = 1000\pi \times 50\times10^{-6} = 0{,}05\,\pi.
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\cos\bigl(1000\pi\,nT\bigr) = \cos\bigl(0{,}05\,\pi\,n\bigr).

Passo 4

Reescrevendo o denominador \pi\,(nT)=\pi\,n\,(50\times10^{-6}), temos
x[n] = 25\,\frac{\cos\bigl(0{,}05\pi n\bigr)}{\pi\,n\,(50\times10^{-6})} = \frac{25}{50\times10^{-6}\,\pi}\;\frac{\cos\bigl(0{,}05\pi n\bigr)}{n}.
Como \tfrac{25}{50\times10^{-6}}=5\times10^{5}, resulta
x[n] = \frac{5\times10^{5}}{\pi}\,\frac{\cos\bigl(0{,}05\pi n\bigr)}{n}, \quad n\neq 0.

Resposta

x[n] = \frac{5\times10^{5}}{\pi}\,\frac{\cos\bigl(0{,}05\pi n\bigr)}{n}, \quad n\neq 0.

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