Questão 1: Em cada situação, calcule o limite indicado.
Passo 1
O enunciado pede: calcular o limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função é dada em três partes, com as faixas .
- O ponto onde se quer o limite é
. - Para decidir
é preciso considerar os comportamentos quando se aproxima de pela esquerda ( ) e pela direita ( ), porque a função é por partes e a peça usada muda em .]
Passo 2
Entendendo o que é necessário calcular (uma mini-aula rápida e prática).
- O limite
existe se, e somente se, os dois limites laterais coincidirem: Caso contrário, o limite NÃO existe. - Para calcular
usamos a expressão de válida para valores de menores que (mas próximos de ). Para usamos a expressão válida para maiores que (mas próximos de ). - Observação prática: quando a peça usada perto do ponto é uma função polinomial (como
ou ), o limite ao se aproximar pelo lado correspondente é obtido simplesmente substituindo pelo ponto (propriedade de continuidade de polinômios).
Passo 3
Cálculo do limite pela esquerda
.
- Para
aproximando-se de pela esquerda temos ; a peça aplicável é (porque ela vale quando ). - Polinômios são contínuos, logo
- Conclusão parcial:
.
Passo 4
Cálculo do limite pela direita
.
- Para
aproximando-se de pela direita temos ; a peça aplicável é . - Novamente, sendo um polinômio (quadrado), é contínuo, então basta substituir:
- Conclusão parcial:
.
Passo 5
Comparação dos limites laterais e conclusão sobre
.
- Encontramos
e . - Como
, os limites laterais não coincidem. Portanto o limite geral não existe (ou seja, não há um único valor limite quando se aproxima de por ambos os lados).
Passo 6
Comentário extra útil para a prova (mas sem alterar a resposta do limite).
- O valor da função no ponto
é dado pela peça (já que essa peça vale em ), logo . - Mesmo que
, o limite não existe, porque o limite pela esquerda é . Isso caracteriza uma descontinuidade do tipo “salto” (jump) em . - Dica prática para a prova: sempre calcule os dois limites laterais em pontos onde a definição da função muda; se forem iguais, esse é o limite; se forem diferentes, escreva claramente que o limite não existe e forneça os valores laterais.