Questão 1: Em cada situação, calcule o limite indicado.
\lim _{x \rightarrow 1} f(x) ;\) sendo \(f(x)= \begin{cases}1-x, & \text { se } x<-1 \\\ x+3, & \text { se }-1 \leq x<1 \\\ (x-1)^{2}, & \text { se } x \geq 1\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede: calcular o limite \lim_{x\to1} f(x)\) da função definida por partes \[f(x)= \begin{cases} 1-x, & \text{se } x<-1,\\[4pt] x+3, & \text{se } -1 \leq x<1,\\[4pt] (x-1)^{2}, & \text{se } x\geq 1. \end{cases}
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função é dada em três partes, com as faixas \,x<-1\,,\;\,-1\leq x<1\] e \(\,x\geq1.
  • O ponto onde se quer o limite é x=1.
  • Para decidir \lim_{x\to1} f(x) é preciso considerar os comportamentos quando x se aproxima de 1 pela esquerda ( x\to1^-) e pela direita ( x\to1^+), porque a função é por partes e a peça usada muda em x=1.]

Passo 2

Entendendo o que é necessário calcular (uma mini-aula rápida e prática).
  • O limite \lim_{x\to1} f(x) existe se, e somente se, os dois limites laterais coincidirem: \lim_{x\to1^-} f(x)=\lim_{x\to1^+} f(x).Caso contrário, o limite \lim_{x\to1} f(x) NÃO existe.
  • Para calcular \lim_{x\to1^-} f(x) usamos a expressão de f válida para valores de x menores que 1 (mas próximos de 1). Para \lim_{x\to1^+} f(x) usamos a expressão válida para x maiores que 1 (mas próximos de 1).
  • Observação prática: quando a peça usada perto do ponto é uma função polinomial (como x+3 ou (x-1)^2), o limite ao se aproximar pelo lado correspondente é obtido simplesmente substituindo x pelo ponto (propriedade de continuidade de polinômios).

Passo 3

Cálculo do limite pela esquerda \lim_{x\to1^-} f(x).
  • Para x aproximando-se de 1 pela esquerda temos x<1; a peça aplicável é \,x+3 (porque ela vale quando -1\leq x<1).
  • Polinômios são contínuos, logo \lim_{x\to1^-} f(x)=\lim_{x\to1^-} (x+3)=1+3=4.
  • Conclusão parcial: \lim_{x\to1^-} f(x)=4.

Passo 4

Cálculo do limite pela direita \lim_{x\to1^+} f(x).
  • Para x aproximando-se de 1 pela direita temos x\geq1; a peça aplicável é (x-1)^{2}.
  • Novamente, sendo um polinômio (quadrado), é contínuo, então basta substituir: \lim_{x\to1^+} f(x)=\lim_{x\to1^+} (x-1)^{2}=(1-1)^{2}=0.
  • Conclusão parcial: \lim_{x\to1^+} f(x)=0.

Passo 5

Comparação dos limites laterais e conclusão sobre \lim_{x\to1} f(x).
  • Encontramos \lim_{x\to1^-} f(x)=4 e \lim_{x\to1^+} f(x)=0.
  • Como 4\neq0, os limites laterais não coincidem. Portanto o limite geral \lim_{x\to1} f(x)não existe (ou seja, não há um único valor limite quando x se aproxima de 1 por ambos os lados).

Passo 6

Comentário extra útil para a prova (mas sem alterar a resposta do limite).
  • O valor da função no ponto x=1 é dado pela peça (x-1)^{2} (já que essa peça vale em x\geq1), logo f(1)=(1-1)^{2}=0.
  • Mesmo que f(1)=0, o limite \lim_{x\to1} f(x) não existe, porque o limite pela esquerda é 4. Isso caracteriza uma descontinuidade do tipo “salto” (jump) em x=1.
  • Dica prática para a prova: sempre calcule os dois limites laterais em pontos onde a definição da função muda; se forem iguais, esse é o limite; se forem diferentes, escreva claramente que o limite não existe e forneça os valores laterais.

Resposta

\lim_{x\to1^-} f(x)=4,\\ \lim_{x\to1^+} f(x)=0
\lim_{x\to1} f(x) não existe.

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