Questāo 2 Ao calcular
com a regra dos
de Simpson composta, qual é o número mínimo de subintervalos que garante um erro absoluto menor que
?
(A) 18
(B) 165
C 93
(D) 516
(E) 12
(A) 18
(B) 165
C 93
(D) 516
(E) 12
Passo 1
O enunciado dá a integral definida
e pede: ao aproximar essa integral pela regra composta de Simpson
, qual é o número mínimo de subintervalos que garante erro absoluto menor que
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Intervalo de integração:
(logo ). - Função a integrar:
. - Queremos o menor
(número de subintervalos) tal que o erro absoluto da regra composta de Simpson satisfaça . - Lembrete: para aplicar a regra composta de Simpson
o número de subintervalos deve ser múltiplo de .
Passo 2
Apresentando a fórmula de erro para a regra composta de Simpson
e justificando-a de forma direta e simples.
Defina
(comprimento de cada subintervalo) e suponha
(m painéis, cada painel tem 3 subintervalos). Para um painel de comprimento
a fórmula da regra de Newton–Cotes fechada de grau
(Simpson
) tem termo de erro local dado por
para algum
do painel. Substituindo
obtemos
Somando os
painéis e tomando um majorante
, obtemos o limite (bound) composto
Como
, substituindo vem
Esta é a desigualdade prática que vamos usar para escolher
. (Nota: a dedução acima mostra de onde vem o fator e porque o erro decresce como
.)
Passo 3
Calcular
explicitamente (vou derivar passo a passo para você aprender a fazer na prova).
Começando por
Derivando term a termo:
Explicação curta: cada derivada do termo polinomial baixa o expoente multiplicando pelo coeficiente, e
,
. Pronto:
.
Passo 4
Encontrar
.
Observe que
é estritamente crescente em
porque
. Logo
atinge seu máximo em
e é positivo no intervalo; portanto
Numericamente,
portanto
Passo 5
Aplicar a desigualdade de erro e resolver para
.
A condição de erro desejada é
. Pelo bound do Passo 2, com
,
Isolando
,
Substituindo
,
Tirando a raiz quarta,
Portanto o menor inteiro
que satisfaz a desigualdade é
. Porém lembrando a condição para a regra composta de Simpson
:
precisa ser múltiplo de
. Logo devemos escolher o menor múltiplo de
maior ou igual a
, que é
Passo 6
Interpretação final e motivação: escolhemos
porque é o menor número de subintervalos (múltiplo de
) que garante, pelo bound teórico, erro absoluto menor que
. Isso significa que com
subintervalos a estimativa pela regra composta de Simpson
está garantida, por esse teorema, a atingir a precisão pedida.
Resposta
(C) 93