Questāo 2 Ao calcular \int_{1}^{2} \frac{x^{5}}{40}+\cos x d x com a regra dos 3 / 8 de Simpson composta, qual é o número mínimo de subintervalos que garante um erro absoluto menor que 10^{-9} ?
(A) 18
(B) 165
C 93
(D) 516
(E) 12

Passo 1

O enunciado dá a integral definida
\int_{1}^{2}\left(\frac{x^{5}}{40}+\cos x\right)\,dx
e pede: ao aproximar essa integral pela regra composta de Simpson 3/8, qual é o número mínimo de subintervalos que garante erro absoluto menor que 10^{-9}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Intervalo de integração: [a,b]=[1,2] (logo b-a=1).
  • Função a integrar: f(x)=\dfrac{x^{5}}{40}+\cos x.
  • Queremos o menor n (número de subintervalos) tal que o erro absoluto da regra composta de Simpson 3/8 satisfaça |E|\!<\!10^{-9}.
  • Lembrete: para aplicar a regra composta de Simpson 3/8 o número de subintervalos n deve ser múltiplo de 3.

Passo 2

Apresentando a fórmula de erro para a regra composta de Simpson 3/8 e justificando-a de forma direta e simples.
Defina h=\dfrac{b-a}{n} (comprimento de cada subintervalo) e suponha n=3m (m painéis, cada painel tem 3 subintervalos). Para um painel de comprimento L=3h a fórmula da regra de Newton–Cotes fechada de grau 3 (Simpson 3/8) tem termo de erro local dado por
E_{\text{painel}}=-\frac{L^{5}}{6480}\,f^{(4)}(\xi)
para algum \xi do painel. Substituindo L=3h obtemos
E_{\text{painel}}=-\frac{(3h)^{5}}{6480}f^{(4)}(\xi)=-\frac{3}{80}h^{5}f^{(4)}(\xi).
Somando os m painéis e tomando um majorante M=\max_{x\in[1,2]}|f^{(4)}(x)|, obtemos o limite (bound) composto
|E|\le m\cdot\frac{3}{80}h^{5}M = \frac{n}{3}\cdot\frac{3}{80}h^{5}M=\frac{n}{80}h^{5}M.
Como h=(b-a)/n, substituindo vem
|E|\le \frac{(b-a)^{5}}{80\,n^{4}}\,M.
Esta é a desigualdade prática que vamos usar para escolher n. (Nota: a dedução acima mostra de onde vem o fator e porque o erro decresce como n^{-4}.)

Passo 3

Calcular f^{(4)}(x) explicitamente (vou derivar passo a passo para você aprender a fazer na prova).
Começando por
f(x)=\frac{x^{5}}{40}+\cos x.
Derivando term a termo:
f'(x)=\frac{5x^{4}}{40}-\sin x=\frac{x^{4}}{8}-\sin x,
f''(x)=\frac{4x^{3}}{8}-\cos x=\frac{x^{3}}{2}-\cos x,
f'''(x)=\frac{3x^{2}}{2}+\sin x,
f^{(4)}(x)=3x+\cos x.
Explicação curta: cada derivada do termo polinomial baixa o expoente multiplicando pelo coeficiente, e \frac{d}{dx}\cos x=-\sin x, \frac{d}{dx}\sin x=\cos x. Pronto: f^{(4)}(x)=3x+\cos x.

Passo 4

Encontrar M=\max_{x\in[1,2]}|f^{(4)}(x)|.
Observe que
f^{(4)}(x)=3x+\cos x
é estritamente crescente em [1,2] porque (f^{(4)})'(x)=3-\sin x\ge 3-1=2>0. Logo f^{(4)}(x) atinge seu máximo em x=2 e é positivo no intervalo; portanto
M=f^{(4)}(2)=3\cdot 2+\cos 2=6+\cos 2.
Numericamente,
\cos 2\approx -0,4161468365,
portanto
M=6+\cos 2\approx 5,5838531635.

Passo 5

Aplicar a desigualdade de erro e resolver para n.
A condição de erro desejada é |E|<10^{-9}. Pelo bound do Passo 2, com b-a=1,
\frac{(b-a)^{5}}{80\,n^{4}}\,M=\frac{M}{80\,n^{4}}<10^{-9}.
Isolando n^{4},
n^{4}>\frac{M}{80\cdot 10^{-9}}=\frac{M}{8\times 10^{-8}}.
Substituindo M\approx 5,5838531635,
n^{4}>\frac{5{,}5838531635}{8\times 10^{-8}}\approx 6{,}979816454\times 10^{7}.
Tirando a raiz quarta,
n>(6{,}979816454\times 10^{7})^{1/4}\approx 91{,}45.
Portanto o menor inteiro n que satisfaz a desigualdade é n=92. Porém lembrando a condição para a regra composta de Simpson 3/8: n precisa ser múltiplo de 3. Logo devemos escolher o menor múltiplo de 3 maior ou igual a 91{,}45, que é
n=93.

Passo 6

Interpretação final e motivação: escolhemos n=93 porque é o menor número de subintervalos (múltiplo de 3) que garante, pelo bound teórico, erro absoluto menor que 10^{-9}. Isso significa que com n=93 subintervalos a estimativa pela regra composta de Simpson 3/8 está garantida, por esse teorema, a atingir a precisão pedida.

Resposta

(C) 93

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