Questāo 1 Qual a aproximaçāo de
calculada pela regra do
de Simpson com quatro subintervalos?
24,7946
(B) 9,9902
(C) 14,9250
(D) 5,0553
(E) 19,8598
24,7946
(B) 9,9902
(C) 14,9250
(D) 5,0553
(E) 19,8598
Passo 1
O enunciado pede a aproximação de
usando a regra
de Simpson com quatro subintervalos. Informações dadas:
- Integral a aproximar:
. - Intervalo:
. - Número de subintervalos:
(já é um número par, condição necessária para Simpson). - Método solicitado: regra de Simpson
composta com .
Passo 2
Explicando a regra de Simpson
composta (o que você precisa saber para a prova):
- Dividimos o intervalo
em subintervalos iguais, com par. - O comprimento de cada subintervalo é
- Se
são os nós (pontos de malha) e é a função integranda, a fórmula composta de Simpson é
- Observação sobre os coeficientes: os pontos internos ímpares recebem peso
e os pares recebem peso (exceto as extremidades que têm peso ). Isso vem da combinação de integrais dos polinômios quadráticos em cada par de subintervalos — na prova basta decorar a regra e saber aplicar.
Passo 3
Aplicando ao nosso caso:
- Aqui
, , . - Então
- Para uso numérico,
e
Passo 4
Montamos os nós
para
:
Passo 5
Definimos
. Vamos calcular
em cada nó (mostro cada parte:
,
,
, e a soma final). Os valores a seguir são arredondados com precisão suficiente para a aproximação.
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
(Dica: os valores de
normalmente exigem calculadora; na prova, se permitida, use-a; se não, o enunciado costuma escolher integrais com funções cujo seno em certos pontos é exato — aqui pediram aproximação numérica, então é normal usar calculadora.)
Passo 6
Agora aplicamos a fórmula composta de Simpson:
Substituindo os valores numéricos obtidos:
Calculemos a soma interior (valores arredondados mostrados):
Somando todas as partes:
Multiplicando por
:
Passo 7
Interpretação final: a aproximação pela regra
de Simpson com
subintervalos dá aproximadamente
. Entre as alternativas fornecidas, isso corresponde à alternativa (A).
Resposta
(A)