Questāo 1 Qual a aproximaçāo de \int_{0}^{\pi} \operatorname{sen}\left(x^{2}\right)+5 x d x calculada pela regra do 1 / 3 de Simpson com quatro subintervalos?
24,7946
(B) 9,9902
(C) 14,9250
(D) 5,0553
(E) 19,8598

Passo 1

O enunciado pede a aproximação de \displaystyle \int_{0}^{\pi} \big(\operatorname{sen}(x^{2}) + 5x\big)\,dx usando a regra 1/3 de Simpson com quatro subintervalos. Informações dadas:
  • Integral a aproximar: \displaystyle \int_{0}^{\pi} \big(\operatorname{sen}(x^{2}) + 5x\big)\,dx.
  • Intervalo: [0,\pi].
  • Número de subintervalos: n=4 (já é um número par, condição necessária para Simpson).
  • Método solicitado: regra de Simpson 1/3 composta com n=4.

Passo 2

Explicando a regra de Simpson 1/3 composta (o que você precisa saber para a prova):
  • Dividimos o intervalo [a,b] em n subintervalos iguais, com n par.
  • O comprimento de cada subintervalo é
h=\frac{b-a}{n}.
  • Se x_0,x_1,\dots,x_n são os nós (pontos de malha) e f(x) é a função integranda, a fórmula composta de Simpson 1/3 é
\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\big(f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+\cdots+4f(x_{n-1})+f(x_n)\big).
  • Observação sobre os coeficientes: os pontos internos ímpares recebem peso 4 e os pares recebem peso 2 (exceto as extremidades que têm peso 1). Isso vem da combinação de integrais dos polinômios quadráticos em cada par de subintervalos — na prova basta decorar a regra e saber aplicar.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso:
  • Aqui a=0, b=\pi, n=4.
  • Então
h=\frac{\pi-0}{4}=\frac{\pi}{4}.
  • Para uso numérico, \displaystyle h=\frac{\pi}{4}\approx 0{,}7853981634 e
\frac{h}{3}=\frac{\pi}{12}\approx 0{,}2617993878.

Passo 4

Montamos os nós \,x_i=a+i h para i=0,\dots,4:
\begin{aligned} x_0&=0,\\\ x_1&=\frac{\pi}{4}\approx 0{,}7853981634,\\\ x_2&=\frac{\pi}{2}\approx 1{,}5707963268,\\\ x_3&=\frac{3\pi}{4}\approx 2{,}3561944902,\\\ x_4&=\pi\approx 3{,}1415926536. \end{aligned}

Passo 5

Definimos f(x)=\operatorname{sen}(x^{2})+5x. Vamos calcular f(x_i) em cada nó (mostro cada parte: x_i^2, \operatorname{sen}(x_i^2), 5x_i, e a soma final). Os valores a seguir são arredondados com precisão suficiente para a aproximação.
Para x_0=0:
x_0^2=0,\quad \operatorname{sen}(0)=0,\quad 5x_0=0,\quad f(x_0)=0.
Para x_1=\frac{\pi}{4}:
x_1^2=\left(\frac{\pi}{4}\right)^{2}\approx 0{,}6168502751,
\operatorname{sen}(x_1^2)=\operatorname{sen}(0{,}6168502751)\approx 0{,}5780870,
5x_1=5\cdot 0{,}7853981634\approx 3{,}9269908170,
f(x_1)\approx 0{,}5780870+3{,}9269908170\approx 4{,}5050778170.
Para x_2=\frac{\pi}{2}:
x_2^2=\left(\frac{\pi}{2}\right)^{2}\approx 2{,}4674011003,
\operatorname{sen}(x_2^2)=\operatorname{sen}(2{,}4674011003)\approx 0{,}6266571,
5x_2=5\cdot 1{,}5707963268\approx 7{,}8539816340,
f(x_2)\approx 0{,}6266571+7{,}8539816340\approx 8{,}4806387340.
Para x_3=\frac{3\pi}{4}:
x_3^2=\left(\frac{3\pi}{4}\right)^{2}\approx 5{,}5516504756,
\operatorname{sen}(x_3^2)=\operatorname{sen}(5{,}5516504756)\approx -0{,}6695050,
5x_3=5\cdot 2{,}3561944902\approx 11{,}7809724510,
f(x_3)\approx -0{,}6695050+11{,}7809724510\approx 11{,}1114674010.
Para x_4=\pi:
x_4^2=\pi^{2}\approx 9{,}8696044011,
\operatorname{sen}(x_4^2)=\operatorname{sen}(\pi^{2})\approx -0{,}4303012170,
5x_4=5\cdot \pi\approx 15{,}7079632679,
f(x_4)\approx -0{,}4303012170+15{,}7079632679\approx 15{,}2776620509.
(Dica: os valores de \operatorname{sen}(x^{2}) normalmente exigem calculadora; na prova, se permitida, use-a; se não, o enunciado costuma escolher integrais com funções cujo seno em certos pontos é exato — aqui pediram aproximação numérica, então é normal usar calculadora.)

Passo 6

Agora aplicamos a fórmula composta de Simpson:
\int_{0}^{\pi} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\big(f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+f(x_4)\big).
Substituindo os valores numéricos obtidos:
\begin{aligned} S&=\frac{h}{3}\big(0 + 4\cdot 4{,}5050778170 + 2\cdot 8{,}4806387340 + 4\cdot 11{,}1114674010 + 15{,}2776620509\big)\\\ &=\frac{\pi}{12}\big(4\cdot 4{,}5050778170 + 2\cdot 8{,}4806387340 + 4\cdot 11{,}1114674010 + 15{,}2776620509\big). \end{aligned}
Calculemos a soma interior (valores arredondados mostrados):
\begin{aligned} 4\cdot 4{,}5050778170 &\approx 18{,}0203112680,\\\\ 2\cdot 8{,}4806387340 &\approx 16{,}9612774680,\\\\ 4\cdot 11{,}1114674010 &\approx 44{,}4458696040. \end{aligned}
Somando todas as partes:
0 + 18{,}0203112680 + 16{,}9612774680 + 44{,}4458696040 + 15{,}2776620509 \approx 94{,}7051203909.
Multiplicando por \dfrac{h}{3}=\dfrac{\pi}{12}\approx 0{,}2617993878:
S \approx 94{,}7051203909 \times 0{,}2617993878 \approx 24{,}7946\\ (\text{arredondado }4\text{ casas decimais }).

Passo 7

Interpretação final: a aproximação pela regra 1/3 de Simpson com 4 subintervalos dá aproximadamente 24{,}7946. Entre as alternativas fornecidas, isso corresponde à alternativa (A).

Resposta

(A) 24,7946

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