Questão 2:
Calcular a solução geral da equação definida por
.
Calcular a solução geral da equação definida por
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
Isto é um caso de equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral é dada por
onde
é a solução da equação homogênea associada e
é uma particular. Vamos usar variação de parâmetros para obter
.
Passo 2
Primeiro achamos
. A equação característica é
As raízes são duplas em
. Logo, a solução homogênea é
Passo 3
Para variação de parâmetros escrevemos a equação na forma padrão
aqui com
,
e
Tomamos as duas soluções fundamentais
O Wronskiano é
Passo 4
As fórmulas de variação de parâmetros dão
Substituindo,
Passo 5
Integramos para achar
e
:
Então uma solução particular é
Podemos agrupar:
Passo 6
A solução geral da equação é
Resposta
onde
e
são constantes arbitrárias.