Questão 2:
Calcular a solução geral da equação definida por y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=e^{t} /\left(1+t^{2}\right).

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y'' - 2y' + y = \frac{e^t}{1 + t^2}.
Isto é um caso de equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral é dada por
y(t) = y_h(t) + y_p(t),
onde y_h é a solução da equação homogênea associada e y_p é uma particular. Vamos usar variação de parâmetros para obter y_p.

Passo 2

Primeiro achamos y_h. A equação característica é
r^2 - 2r + 1 = 0.
As raízes são duplas em r=1. Logo, a solução homogênea é
y_h(t) = C_1 e^t + C_2\,t\,e^t.

Passo 3

Para variação de parâmetros escrevemos a equação na forma padrão
y'' + p(t)\,y' + q(t)\,y = g(t),
aqui com p(t)=-2, q(t)=1 e
g(t) = \frac{e^t}{1 + t^2}.
Tomamos as duas soluções fundamentais
y_1(t) = e^t, \quad y_2(t) = t\,e^t.
O Wronskiano é
W(t) = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\[6pt] y_1' & y_2' \end{vmatrix} = e^t\bigl((1+t)e^t\bigr)\;-\;e^t\bigl(t\,e^t\bigr) = e^{2t}.]

Passo 4

As fórmulas de variação de parâmetros dão
u_1'(t) = -\frac{y_2(t)\,g(t)}{W(t)}, \quad u_2'(t) = \frac{y_1(t)\,g(t)}{W(t)}.
Substituindo,
u_1'(t) = -\frac{t\,e^t\;\frac{e^t}{1+t^2}}{e^{2t}} = -\frac{t}{1+t^2}, \quad u_2'(t) = \frac{e^t\;\frac{e^t}{1+t^2}}{e^{2t}} = \frac{1}{1+t^2}.

Passo 5

Integramos para achar u_1 e u_2:
u_1(t) = \int -\frac{t}{1+t^2}\,dt = -\tfrac12 \ln\bigl(1+t^2\bigr), \quad u_2(t) = \int \frac{1}{1+t^2}\,dt = \arctan t.
Então uma solução particular é
y_p(t) = u_1(t)\,y_1(t) + u_2(t)\,y_2(t) = -\tfrac12 \ln\bigl(1+t^2\bigr)\,e^t + (\arctan t)\,t\,e^t.
Podemos agrupar:
y_p(t) = e^t\Bigl(-\tfrac12\ln(1+t^2) + t\,\arctan t\Bigr).

Passo 6

A solução geral da equação é
y(t) = y_h(t) + y_p(t) = C_1 e^t + C_2\,t\,e^t + e^t\Bigl(-\tfrac12\ln(1+t^2) + t\,\arctan t\Bigr).

Resposta

y(t) = e^t\Bigl(C_1 + C_2\,t - \tfrac12\ln(1+t^2) + t\,\arctan t\Bigr),
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

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