Questão 2:
Avalie se o conjunto de funções \left\{f_{1}, f_{2}\right\}, \operatorname{com} f_{1}(x)=1-t^{2} e f_{2}(x)=2 t^{2}+4, é linearmente dependente ou independente. Se linearmente dependente, determine uma relação de dependência linear entre elas.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto de funções
\{f_{1},f_{2}\},\quad f_{1}(t)=1 - t^{2},\;\;f_{2}(t)=2\,t^{2}+4,
é linearmente dependente ou independente em um espaço de funções. Para isso, vamos usar o critério de que há dependência linear se existirem escalares a,b, não ambos zero, tais que
a\,f_{1}(t) + b\,f_{2}(t) = 0 \quad\forall\,t.

Passo 2

Formamos a combinação linear nula:
a\,(1 - t^{2}) + b\,(2\,t^{2} + 4) = 0 \quad\forall\,t.
Expandindo, agrupamos termos em potências de t:

Passo 3

a + 4\,b \;+\;(-a + 2\,b)\,t^{2} \;=\;0.
Como isso vale para todo t, os coeficientes devem se anular:
\begin{cases} a + 4\,b = 0,\\\\ -a + 2\,b = 0. \end{cases}

Passo 4

Resolvendo o sistema:
-a + 2\,b = 0\;\Longrightarrow\;a = 2\,b,
substituindo em a + 4\,b = 0:
2\,b + 4\,b = 0\;\Longrightarrow\;6\,b = 0\;\Longrightarrow\;b = 0,
logo a = 0.

Passo 5

O único par (a,b) que satisfaz é (0,0), ou seja, não há relação não trivial. Portanto, as funções são linearmente independentes.

Resposta

O conjunto \{f_{1},f_{2}\} é linearmente independente.

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