Questão 2:
Calcular a solução do problema de valor inicial: y^{\prime \prime}+6 y^{\prime}+13 y=2 e^{-2 x} \operatorname{sen} x, \quad y(0)=1, y^{\prime}(0)=1.

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial para a equação diferencial
y'' + 6y' + 13y = 2e^{-2x}\sin x,
com condições y(0)=1 e y'(0)=1.
O conteúdo é resolução de EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes, usando:
  1. solução complementar da homogênea,
  2. método dos coeficientes a determinar para a parte particular,
  3. aplicação das condições iniciais para fixar as constantes.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a equação homogênea
y'' + 6y' + 13y = 0.
O polinômio característico é
r^2 + 6r + 13 = 0 \quad\Longrightarrow\quad r = -3 \pm 2i.
Logo, a solução complementar é
y_c(x) = e^{-3x}\bigl(A\cos(2x) + B\sin(2x)\bigr).

Passo 3

Para a parte particular, como o termo forçante é 2e^{-2x}\sin x\), tomamos o ansatz \[y_p(x) = e^{-2x}\bigl(C\sin x + D\cos x\bigr).
Calculando y_p' e y_p'' e substituindo em y''+6y'+13y, chega-se ao sistema
\begin{cases} 4C - 2D = 2,\\\\ 2C + 4D = 0, \end{cases}
cuja solução é C = \tfrac{2}{5}\] e \(D = -\tfrac{1}{5}.
Portanto
y_p(x) = \frac{1}{5}e^{-2x}\bigl(2\sin x - \cos x\bigr).

Passo 4

A solução geral da EDO é
y(x) = y_c(x) + y_p(x) = e^{-3x}\bigl(A\cos(2x) + B\sin(2x)\bigr) + \frac{1}{5}e^{-2x}\bigl(2\sin x - \cos x\bigr).

Passo 5

Impondo y(0)=1:
y(0) = A + \frac{1}{5}(-1) = 1 \quad\Longrightarrow\quad A = \frac{6}{5}.

Passo 6

Para y'(0)=1, calcula-se y'(x), avalia-se em x=0 e obtém-se
2B - 3A + \frac{4}{5} = 1 \quad\Longrightarrow\quad B = \frac{19}{10}.

Resposta

\boxed{ y(x) = e^{-3x}\Bigl(\tfrac{6}{5}\cos(2x) + \tfrac{19}{10}\sin(2x)\Bigr) + \tfrac{1}{5}e^{-2x}\bigl(2\sin x - \cos x\bigr). }

Exercícios relacionados