Questão 1:
Calcular soluções para a equação x d x+y e^{-2} d y=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial escrita na forma diferencial
x\,d x + y e^{-2}\,d y = 0.
O que se pede: encontrar as soluções gerais dessa equação, isto é, achar a família de curvas (com constante arbitrária) que satisfazem essa relação entre x e y.
Informações relevantes do enunciado:
  • A equação contém os termos x\,d x e y e^{-2}\,d y.
  • O fator e^{-2} é uma constante (não depende de x nem de y).
  • Queremos a solução geral (com constante de integração).

Passo 2

Vamos reorganizar a equação de modo a separar x e y em lados diferentes. Isso é possível porque os diferenciais aparecem multiplicados por funções somente de x ou somente de y. Reescrevendo:
x\,d x = -\,y e^{-2}\,d y.
Aqui usei a propriedade elementar de operações com diferenciais: podemos somar/subtrair termos e dividir (quando não nulos) para isolar os termos em dx e dy. Note que e^{-2} é constante, então pode sair de integrais quando for o caso.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados. Vou explicar as regras de integração que uso:
  • Regra básica: \displaystyle \int x\,d x = \frac{x^{2}}{2} + C.
  • Constante fatorada: \displaystyle \int a\cdot f(t)\,dt = a\int f(t)\,dt para a constante.
Aplicando isso:
\int x\,d x \;=\; \int \big(-y e^{-2}\big)\,d y.
O lado esquerdo dá
\int x\,d x = \frac{x^{2}}{2}.
O lado direito, extraindo a constante -e^{-2}, dá
\int -y e^{-2}\,d y = -e^{-2}\int y\,d y = -e^{-2}\cdot\frac{y^{2}}{2}.
Incluímos uma constante de integração (que agruparemos depois). Assim obtemos
\frac{x^{2}}{2} = -\,\frac{e^{-2}y^{2}}{2} + C,
onde C é a constante de integração (já combinada a partir de constantes dos dois lados).

Passo 4

Multiplicando a igualdade por 2 para simplificar:
x^{2} = -e^{-2}y^{2} + C',
onde C' = 2C é outra constante arbitrária (posso renomear como achar melhor). Rearranjando os termos para escrever de forma implícita conveniente:
x^{2} + e^{-2}y^{2} = C'.
É costume escrever a constante final como C, então a família de soluções implícitas é
x^{2} + e^{-2}y^{2} = C,\qquad C\in\mathbb{R}.
Também podemos isolar y para dar a forma explícita (quando interessar e quando o lado direito for não negativo):
y^{2} = e^{2}\big(C - x^{2}\big),
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y = \pm e\,\sqrt{\,C - x^{2}\,}\quad\text{(domínio real: \(C - x^{2}\ge 0\)).}í
Comentário prático e intuitivo: a família x^{2}+e^{-2}y^{2}=C são elipses (para C>0) alongadas de acordo com o fator e^{-2}. O caso C=0 dá a solução trivial x=0,y=0.

Passo 5

Resumo dos passos práticos que podes usar numa prova:
  • Separe os termos em x e y: x\,dx = -y e^{-2}\,dy.
  • Integre ambos os lados usando as integrais básicas \int x\,dx=\tfrac{x^{2}}{2} e \int y\,dy=\tfrac{y^{2}}{2}, lembrando de mover constantes para fora da integral.
  • Combine as constantes de integração e arrume a expressão final numa forma implícita conveniente.

Resposta

x^{2} + e^{-2}y^{2} = C,\\ C\in\mathbb{R}

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