Questão 1:
Calcular soluções para a equação
.
Calcular soluções para a equação
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial escrita na forma diferencial
O que se pede: encontrar as soluções gerais dessa equação, isto é, achar a família de curvas (com constante arbitrária) que satisfazem essa relação entre
e
.
Informações relevantes do enunciado:
- A equação contém os termos
e . - O fator
é uma constante (não depende de nem de ). - Queremos a solução geral (com constante de integração).
Passo 2
Vamos reorganizar a equação de modo a separar
e
em lados diferentes. Isso é possível porque os diferenciais aparecem multiplicados por funções somente de
ou somente de
. Reescrevendo:
Aqui usei a propriedade elementar de operações com diferenciais: podemos somar/subtrair termos e dividir (quando não nulos) para isolar os termos em
e
. Note que
é constante, então pode sair de integrais quando for o caso.
Passo 3
Agora integramos ambos os lados. Vou explicar as regras de integração que uso:
- Regra básica:
. - Constante fatorada:
para constante.
Aplicando isso:
O lado esquerdo dá
O lado direito, extraindo a constante
, dá
Incluímos uma constante de integração (que agruparemos depois). Assim obtemos
onde
é a constante de integração (já combinada a partir de constantes dos dois lados).
Passo 4
Multiplicando a igualdade por
para simplificar:
onde
é outra constante arbitrária (posso renomear como achar melhor). Rearranjando os termos para escrever de forma implícita conveniente:
É costume escrever a constante final como
, então a família de soluções implícitas é
Também podemos isolar
para dar a forma explícita (quando interessar e quando o lado direito for não negativo):
logo
Comentário prático e intuitivo: a família
são elipses (para
) alongadas de acordo com o fator
. O caso
dá a solução trivial
.
Passo 5
Resumo dos passos práticos que podes usar numa prova:
- Separe os termos em
e : . - Integre ambos os lados usando as integrais básicas
e , lembrando de mover constantes para fora da integral. - Combine as constantes de integração e arrume a expressão final numa forma implícita conveniente.