Classifique e resolva as EDO’s abaixo:
(dica: faça
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: classificar a equação diferencial e resolvê‑la. A equação dada é
Informação extra do enunciado (dica): fazer a substituição
.
Não há outras informações fornecidas.
Não há outras informações fornecidas.
Passo 2
Primeiro vamos escrever a equação na forma habitual envolvendo
. Reorganizando os termos:
Dividindo por
(assumindo
) e por
(mais adiante veremos restrições quando
):
Esta é a forma explícita que vamos trabalhar.
Passo 3
Vamos classificar a equação. Considere as funções
e
na forma
.
- Verificando se é exata:
e . Como , a equação NÃO é exata. - Observe agora que
e são funções homogêneas de grau (isto é, , mesmo para ). Isso sugere que a equação é uma EDO homogênea de primeira ordem e que a substituição (ou ) é apropriada. A ideia é que o quociente transforma a razão no lado direito em função somente de .
Passo 4
Aplicando a substituição
. Defina
, então
. Diferenciando em relação a
(regra do produto):
Substituímos isso na equação
. Antes, transforme o lado direito em função de
:
Portanto a equação fica
Passo 5
Isolamos
:
Vamos simplificar o lado direito. Colocando em denominador comum
:
Logo
Passo 6
Agora separamos variáveis para integrar. Escrevemos
A separação de variáveis permite integrar cada lado em sua variável (é uma técnica padrão: deixar todos os termos com
e
num lado e os com
e
no outro).
Passo 7
Integramos ambos os lados. No lado esquerdo é conveniente dividir a fração:
As integrais básicas são
Portanto
No lado direito,
Igualando as primitivas:
Passo 8
Voltamos à variável original usando
. Substituindo e simplificando o logaritmo:
Substituindo isso na expressão integrada:
Desenvolvendo os termos:
As parcelas
cancelam dos dois lados, ficando a forma implícita simples:
onde
é constante arbitrária.
Passo 9
Comentários finais e domínio: a solução geral ficou implícita. Pode também ser escrita multiplicando por
:
com
. Note que usamos a substituição
, portanto exigimos
ao longo do processo (soluções que cruzem
precisam de cuidado). Além disso, não existem soluções do tipo
com
constante que satisfaçam a equação (não surgem soluções singulares desse tipo a partir da separação).
Resposta
EDO homogênea de primeira ordem (não exata).