Classifique e resolva as EDO’s abaixo:
(x+y) d x-(x-y) d y=0 (dica: faça \left.v=\frac{y}{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: classificar a equação diferencial e resolvê‑la. A equação dada é
(x+y)\,dx-(x-y)\,dy=0.
Informação extra do enunciado (dica): fazer a substituição \displaystyle v=\frac{y}{x}.
Não há outras informações fornecidas.

Passo 2

Primeiro vamos escrever a equação na forma habitual envolvendo \dfrac{dy}{dx}. Reorganizando os termos:
(x+y)\,dx=(x-y)\,dy.
Dividindo por dx (assumindo dx\neq0) e por (x-y) (mais adiante veremos restrições quando x-y=0):
\frac{dy}{dx}=\frac{x+y}{x-y}.
Esta é a forma explícita que vamos trabalhar.

Passo 3

Vamos classificar a equação. Considere as funções M(x,y)=x+y e N(x,y)=-(x-y) na forma M\,dx+N\,dy=0.
  • Verificando se é exata: \dfrac{\partial M}{\partial y}=1 e \dfrac{\partial N}{\partial x}=-1. Como 1\neq-1, a equação NÃO é exata.
  • Observe agora que M e N são funções homogêneas de grau 1 (isto é, M(tx,ty)=tM(x,y), mesmo para N). Isso sugere que a equação é uma EDO homogênea de primeira ordem e que a substituição \displaystyle v=\frac{y}{x} (ou y=vx) é apropriada. A ideia é que o quociente \dfrac{y}{x} transforma a razão no lado direito em função somente de v.

Passo 4

Aplicando a substituição y=vx. Defina v=\dfrac{y}{x}, então y=vx. Diferenciando em relação a x (regra do produto):
\frac{dy}{dx}=v + x\frac{dv}{dx}.
Substituímos isso na equação \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x+y}{x-y}. Antes, transforme o lado direito em função de v:
\frac{x+y}{x-y}=\frac{x+vx}{x-vx}=\frac{1+v}{1-v}.
Portanto a equação fica
v + x\frac{dv}{dx}=\frac{1+v}{1-v}.

Passo 5

Isolamos x\frac{dv}{dx}:
x\frac{dv}{dx}=\frac{1+v}{1-v}-v.
Vamos simplificar o lado direito. Colocando em denominador comum 1-v:
\frac{1+v}{1-v}-v=\frac{1+v - v(1-v)}{1-v}=\frac{1+v - v + v^2}{1-v}=\frac{1+v^2}{1-v}.
Logo
x\frac{dv}{dx}=\frac{1+v^2}{1-v}.

Passo 6

Agora separamos variáveis para integrar. Escrevemos
\frac{1-v}{1+v^2}\,dv=\frac{dx}{x}.
A separação de variáveis permite integrar cada lado em sua variável (é uma técnica padrão: deixar todos os termos com v e dv num lado e os com x e dx no outro).

Passo 7

Integramos ambos os lados. No lado esquerdo é conveniente dividir a fração:
\frac{1-v}{1+v^2}=\frac{1}{1+v^2}-\frac{v}{1+v^2}.
As integrais básicas são
\int\frac{1}{1+v^2}\,dv=\arctan(v), \qquad \int\frac{v}{1+v^2}\,dv=\frac{1}{2}\ln(1+v^2).
Portanto
\int\frac{1-v}{1+v^2}\,dv=\arctan(v)-\frac{1}{2}\ln(1+v^2).
No lado direito,
\int\frac{dx}{x}=\ln|x|+C.
Igualando as primitivas:
\arctan(v)-\frac{1}{2}\ln(1+v^2)=\ln|x|+C.

Passo 8

Voltamos à variável original usando v=\dfrac{y}{x}. Substituindo e simplificando o logaritmo:
\ln(1+v^2)=\ln\!\left(1+\frac{y^2}{x^2}\right)=\ln\!\left(\frac{x^2+y^2}{x^2}\right)=\ln(x^2+y^2)-2\ln|x|.
Substituindo isso na expressão integrada:
\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)-\frac{1}{2}\bigl(\ln(x^2+y^2)-2\ln|x|\bigr)=\ln|x|+C.
Desenvolvendo os termos:
\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)-\frac{1}{2}\ln(x^2+y^2)+\ln|x|=\ln|x|+C.
As parcelas \ln|x| cancelam dos dois lados, ficando a forma implícita simples:
\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)-\frac{1}{2}\ln(x^2+y^2)=C,
onde C é constante arbitrária.

Passo 9

Comentários finais e domínio: a solução geral ficou implícita. Pode também ser escrita multiplicando por 2:
2\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)-\ln(x^2+y^2)=C',
com C'=2C. Note que usamos a substituição v=y/x, portanto exigimos x\neq0 ao longo do processo (soluções que cruzem x=0 precisam de cuidado). Além disso, não existem soluções do tipo y=kx com k constante que satisfaçam a equação (não surgem soluções singulares desse tipo a partir da separação).

Resposta

EDO homogênea de primeira ordem (não exata).
\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)-\frac{1}{2}\ln(x^2+y^2)=C

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