Descreve e esboce as superficies a curvas de coordenadas para
Coordenadas clíptizas cilindoicas
Coordenadas clíptizas cilindoicas
Passo 1
O enunciado pede que eu descreva e esboce as superfícies coordenadas e as curvas coordenadas do sistema dado. Os dados fornecidos são (peguei tudo do enunciado):
- Mapa das coordenadas
para as coordenadas cartesianas :
- Domínio indicado:
O que se pede, então:
- Descrever as superfícies de nível
, e . - Descrever as curvas coordenadas (ou seja, curvas obtidas mantendo duas coordenadas fixas e variando a terceira).
- Explicar geometricamente e, se possível, apontar peculiaridades (singularidades, interseções, orientação).
Passo 2
Primeira observação útil (identidade hiperbólica):
Vou usar essa identidade para eliminar
e
e escrever equações em
que descrevem as superfícies.
Considere a superfície
(com
fixo). Substituo nas fórmulas:
Divido por
e
respectivamente e somo quadrados:
Portanto a equação da superfície
é
independente de
.
Interpretação: essa é a equação de uma elipse no plano
const, com semi-eixos
na direção
e
na direção
. Como a equação não envolve
, a superfície é a extrusão dessa elipse ao longo do eixo
: uma cilindro elíptico (eliptic cylinder) coaxial com o eixo
.
Passo 3
Agora a superfície
(fixo). Da parametrização:
Faço manipulação que leva à diferença de quadrados: isolo
e
via divisão e subtraio os quadrados:
Assim a superfície
tem equação
novamente sem
: é uma hipérbole no plano
const, e a superfície é a extrusão dessa hipérbole ao longo do eixo
— um cilindro hiperbólico (confocal com as elipses anteriores).
Geometricamente: as famílias
const (elipses) e
const (hipérboles) são as curvas confocais típicas das coordenadas elípticas; elas têm os mesmos focos localizados em
.
Passo 4
A superfície
é imediata pela fórmula
: é o plano horizontal
Portanto as coordenadas são “cilíndricas” no sentido de que as curvas elípticas e hiperbólicas se repetem para cada
: as superfícies de
e
são cilindros (independentes de
), e
simplesmente desloca esses cilindros ao longo do eixo
.
Passo 5
Agora descrevo as curvas coordenadas (manter duas coordenadas fixas e variar a terceira).
- Curvas com
e fixos, variando (ou seja, livre):
No plano
essa é uma ramo de hipérbole com equação
portanto as curvas geradas ao variar
são ramos hiperbólicos que vão de
(ponto degenerado) para infinito.
- Curvas com
e fixos, variando :
No plano
isso descreve uma elipse completa com semi-eixos
(direção
) e
(direção
):
- Curvas com
e fixos, variando :
Isto é uma reta paralela ao eixo
(reta vertical) passando pelo ponto fixo
.
Passo 6
Propriedade importante: as famílias de curvas são ortogonais. Vou mostrar rapidamente por que (isso ajuda a entender por que esse sistema é útil).
Escrevo o vetor posição
. As derivadas parciais são:
Calculo o produto escalar
:
E
é claramente ortogonal aos outros dois por ter componentes apenas em
. Logo as curvas das famílias se cortam em ângulos retos — estamos diante de um sistema de coordenadas ortogonais (coordenadas elípticas cilíndricas).
Passo 7
Algumas observações e casos especiais que costumam aparecer na prova (aponta armadilhas e como reconhecer no gráfico):
-
Para
: . Então . A “elipse” degenera para o segmento na linha entre e . É a elipse degenerate com semi-eixo menor zero. -
As elipses e hipérboles são confocais com focos em
. Uma propriedade útil: a soma das distâncias aos focos é proporcional a , concretamente (fato clássico)
onde
. Isso mostra que
mede “quanto” a elipse está afastada dos focos.
- A família
const corresponde a hipérboles que têm assimptotas diretas dependentes de . Para valores de próximos de ou , a hipérbole fica “aberta” principalmente ao longo do eixo ; para próximos de ou a abertura está mais ao longo de .
Passo 8
Como esboçar (dicas práticas para a prova, sem desenhar para você mas dizendo o que desenhar):
-
Fixe um plano
. No plano faça várias curvas constantes: elipses com semi-eixos (horizontal) e (vertical). Para a elipse é o segmento em ; aumentando as elipses crescem e ficam mais alongadas em . -
Sobre o mesmo plano, desenhe algumas hipérboles
constantes: elas cortam as elipses ortogonalmente e têm os focos nos mesmos pontos . -
Repita o desenho para alguns planos
diferentes (ou simplesmente estenda verticalmente o conjunto de curvas): isso cria o aspecto “cilíndrico” — todas as curvas se prolongam paralelamente ao eixo .
Passo 9
Resumo intuitivo para guardar na cabeça (dica de memorização): pense em “elipses confocais” (família
const) cruzadas por “hipérboles confocais” (família
const), e tudo isso é simplesmente empurrado ao longo do eixo
(família
são planos horizontais). Esse sistema é a versão cilíndrica das coordenadas elípticas — útil quando o contorno do problema tem elipses/hipérboles como fronteira.
Resposta
Curvas coordenadas:
As famílias são ortogonais; focos comuns em