Descreve e esboce as superficies a curvas de coordenadas para
Coordenadas clíptizas cilindoicas \left(q_{1}, q_{2}, q_{3}\right)
\begin{aligned} & x_{1}=a \operatorname{cosh} \left(q_{1}\right) \cos \left(q_{2}\right) ; x_{2}=a \operatorname{senh}\left(q_{1}\right) \operatorname{sen}\left(q_{2}\right), x_{3}=q_{3}\\\ & q_{1} \geqslant 0,0 \leqslant q_{2} \leqslant 2 \pi ;-\infty<q_{3}<0 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede que eu descreva e esboce as superfícies coordenadas e as curvas coordenadas do sistema dado. Os dados fornecidos são (peguei tudo do enunciado):
  • Mapa das coordenadas \left(q_{1},q_{2},q_{3}\right) para as coordenadas cartesianas (x_{1},x_{2},x_{3}):
x_{1}=a\operatorname{cosh}\!\left(q_{1}\right)\cos\!\left(q_{2}\right), \qquad x_{2}=a\operatorname{sinh}\!\left(q_{1}\right)\sin\!\left(q_{2}\right), \qquad x_{3}=q_{3}.
  • Domínio indicado:
q_{1}\ge 0,\qquad 0\le q_{2}\le 2\pi,\qquad -\infty<q_{3}<0.
O que se pede, então:
  • Descrever as superfícies de nível q_{1}=\text{const}, q_{2}=\text{const} e q_{3}=\text{const}.
  • Descrever as curvas coordenadas (ou seja, curvas obtidas mantendo duas coordenadas fixas e variando a terceira).
  • Explicar geometricamente e, se possível, apontar peculiaridades (singularidades, interseções, orientação).

Passo 2

Primeira observação útil (identidade hiperbólica):
\operatorname{cosh}^{2}u-\operatorname{sinh}^{2}u=1\quad\text{para todo }u.
Vou usar essa identidade para eliminar q_{1} e q_{2} e escrever equações em x_{1},x_{2} que descrevem as superfícies.
Considere a superfície q_{1}=u (com u\ge 0 fixo). Substituo nas fórmulas:
x_{1}=a\operatorname{cosh} u\cos q_{2},\qquad x_{2}=a\operatorname{sinh} u\sin q_{2}.
Divido por a\operatorname{cosh} u e a\operatorname{sinh} u respectivamente e somo quadrados:
\left(\frac{x_{1}}{a\operatorname{cosh} u}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{a\operatorname{sinh} u}\right)^{2} =\cos^{2}q_{2}+\sin^{2}q_{2}=1.
Portanto a equação da superfície q_{1}=u é
\left(\frac{x_{1}}{a\operatorname{cosh} u}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{a\operatorname{sinh} u}\right)^{2}=1,
independente de x_{3}.
Interpretação: essa é a equação de uma elipse no plano x_{3}= const, com semi-eixos a\operatorname{cosh} u na direção x_{1} e a\operatorname{sinh} u na direção x_{2}. Como a equação não envolve x_{3}, a superfície é a extrusão dessa elipse ao longo do eixo x_{3}: uma cilindro elíptico (eliptic cylinder) coaxial com o eixo x_{3}.

Passo 3

Agora a superfície q_{2}=v (fixo). Da parametrização:
x_{1}=a\operatorname{cosh} q_{1}\cos v,\qquad x_{2}=a\operatorname{sinh} q_{1}\sin v.
Faço manipulação que leva à diferença de quadrados: isolo \operatorname{cosh} q_{1} e \operatorname{sinh} q_{1} via divisão e subtraio os quadrados:
\left(\frac{x_{1}}{a\cos v}\right)^{2}-\left(\frac{x_{2}}{a\sin v}\right)^{2} =\operatorname{cosh}^{2}q_{1}-\operatorname{sinh}^{2}q_{1}=1.
Assim a superfície q_{2}=v tem equação
\left(\frac{x_{1}}{a\cos v}\right)^{2}-\left(\frac{x_{2}}{a\sin v}\right)^{2}=1,
novamente sem x_{3}: é uma hipérbole no plano x_{3}= const, e a superfície é a extrusão dessa hipérbole ao longo do eixo x_{3} — um cilindro hiperbólico (confocal com as elipses anteriores).
Geometricamente: as famílias q_{1}= const (elipses) e q_{2}= const (hipérboles) são as curvas confocais típicas das coordenadas elípticas; elas têm os mesmos focos localizados em (x_{1},x_{2})=(\pm a,0).

Passo 4

A superfície q_{3}=z_{0} é imediata pela fórmula x_{3}=q_{3}: é o plano horizontal
x_{3}=z_{0}.
Portanto as coordenadas são “cilíndricas” no sentido de que as curvas elípticas e hiperbólicas se repetem para cada x_{3}: as superfícies de q_{1} e q_{2} são cilindros (independentes de x_{3}), e q_{3} simplesmente desloca esses cilindros ao longo do eixo x_{3}.

Passo 5

Agora descrevo as curvas coordenadas (manter duas coordenadas fixas e variar a terceira).
  1. Curvas com q_{2}=v e q_{3}=z_{0} fixos, variando q_{1} (ou seja, q_{1} livre):
\gamma_{1}(q_{1})=\bigl(a\operatorname{cosh} q_{1}\cos v,\;a\operatorname{sinh} q_{1}\sin v,\;z_{0}\bigr).
No plano x_{3}=z_{0} essa é uma ramo de hipérbole com equação
\left(\frac{x_{1}}{a\cos v}\right)^{2}-\left(\frac{x_{2}}{a\sin v}\right)^{2}=1,
portanto as curvas geradas ao variar q_{1} são ramos hiperbólicos que vão de q_{1}=0 (ponto degenerado) para infinito.
  1. Curvas com q_{1}=u e q_{3}=z_{0} fixos, variando q_{2}:
\gamma_{2}(q_{2})=\bigl(a\operatorname{cosh} u\cos q_{2},\;a\operatorname{sinh} u\sin q_{2},\;z_{0}\bigr).
No plano x_{3}=z_{0} isso descreve uma elipse completa com semi-eixos a\operatorname{cosh} u (direção x_{1}) e a\operatorname{sinh} u (direção x_{2}):
\left(\frac{x_{1}}{a\operatorname{cosh} u}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{a\operatorname{sinh} u}\right)^{2}=1.
  1. Curvas com q_{1}=u e q_{2}=v fixos, variando q_{3}:
\gamma_{3}(q_{3})=\bigl(a\operatorname{cosh} u\cos v,\;a\operatorname{sinh} u\sin v,\;q_{3}\bigr).
Isto é uma reta paralela ao eixo x_{3} (reta vertical) passando pelo ponto fixo (x_{1},x_{2})=(a\operatorname{cosh} u\cos v,\;a\operatorname{sinh} u\sin v).

Passo 6

Propriedade importante: as famílias de curvas são ortogonais. Vou mostrar rapidamente por que (isso ajuda a entender por que esse sistema é útil).
Escrevo o vetor posição \mathbf{r}(q_{1},q_{2},q_{3})=(x_{1},x_{2},x_{3}). As derivadas parciais são:
\mathbf{r}_{q_{1}}=\left(a\operatorname{sinh} q_{1}\cos q_{2},\;a\operatorname{cosh} q_{1}\sin q_{2},\;0\right),
\mathbf{r}_{q_{2}}=\left(-a\operatorname{cosh} q_{1}\sin q_{2},\;a\operatorname{sinh} q_{1}\cos q_{2},\;0\right),
\mathbf{r}_{q_{3}}=(0,0,1).
Calculo o produto escalar \mathbf{r}_{q_{1}}\!\cdot\!\mathbf{r}_{q_{2}}:
\mathbf{r}_{q_{1}}\!\cdot\!\mathbf{r}_{q_{2}} = a^{2}\bigl(\operatorname{sinh} q_{1}\cos q_{2}\cdot(-\operatorname{cosh} q_{1}\sin q_{2}) +\operatorname{cosh} q_{1}\sin q_{2}\cdot\operatorname{sinh} q_{1}\cos q_{2}\bigr)=0.
E \mathbf{r}_{q_{3}} é claramente ortogonal aos outros dois por ter componentes apenas em x_{3}. Logo as curvas das famílias se cortam em ângulos retos — estamos diante de um sistema de coordenadas ortogonais (coordenadas elípticas cilíndricas).

Passo 7

Algumas observações e casos especiais que costumam aparecer na prova (aponta armadilhas e como reconhecer no gráfico):
  • Para q_{1}=0: \operatorname{cosh} 0=1,\\ \operatorname{sinh} 0=0. Então x_{1}=a\cos q_{2},\\ x_{2}=0. A “elipse” degenera para o segmento na linha x_{2}=0 entre x_{1}=-a e x_{1}=a. É a elipse degenerate com semi-eixo menor zero.
  • As elipses e hipérboles são confocais com focos em (x_{1},x_{2})=(\pm a,0). Uma propriedade útil: a soma das distâncias aos focos é proporcional a \operatorname{cosh} q_{1}, concretamente (fato clássico)
r_{+}+r_{-}=2a\operatorname{cosh} q_{1},
onde r_{\pm}=\sqrt{(x_{1}\mp a)^{2}+x_{2}^{2}}. Isso mostra que q_{1} mede “quanto” a elipse está afastada dos focos.
  • A família q_{2}= const corresponde a hipérboles que têm assimptotas diretas dependentes de v. Para valores de v próximos de 0 ou \pi, a hipérbole fica “aberta” principalmente ao longo do eixo x_{1}; para v próximos de \pi/2 ou 3\pi/2 a abertura está mais ao longo de x_{2}.

Passo 8

Como esboçar (dicas práticas para a prova, sem desenhar para você mas dizendo o que desenhar):
  • Fixe um plano x_{3}=z_{0}. No plano faça várias curvas q_{1}= constantes: elipses com semi-eixos a\operatorname{cosh} u (horizontal) e a\operatorname{sinh} u (vertical). Para u=0 a elipse é o segmento [-a,a] em x_{2}=0; aumentando u as elipses crescem e ficam mais alongadas em x_{1}.
  • Sobre o mesmo plano, desenhe algumas hipérboles q_{2}= constantes: elas cortam as elipses ortogonalmente e têm os focos nos mesmos pontos (\pm a,0).
  • Repita o desenho para alguns planos x_{3}=z diferentes (ou simplesmente estenda verticalmente o conjunto de curvas): isso cria o aspecto “cilíndrico” — todas as curvas se prolongam paralelamente ao eixo x_{3}.

Passo 9

Resumo intuitivo para guardar na cabeça (dica de memorização): pense em “elipses confocais” (família q_{1}= const) cruzadas por “hipérboles confocais” (família q_{2}= const), e tudo isso é simplesmente empurrado ao longo do eixo x_{3} (família q_{3} são planos horizontais). Esse sistema é a versão cilíndrica das coordenadas elípticas — útil quando o contorno do problema tem elipses/hipérboles como fronteira.

Resposta

q_{1}=\text{const}: cilindros elípticos dados por \displaystyle\left(\dfrac{x_{1}}{a\operatorname{cosh} q_{1}}\right)^{2}+\left(\dfrac{x_{2}}{a\operatorname{sinh} q_{1}}\right)^{2}=1 (elipses no plano x_{3}= const, semi-eixos a\operatorname{cosh} q_{1} e a\operatorname{sinh} q_{1}).
q_{2}=\text{const}: cilindros hiperbólicos dados por \displaystyle\left(\dfrac{x_{1}}{a\cos q_{2}}\right)^{2}-\left(\dfrac{x_{2}}{a\sin q_{2}}\right)^{2}=1 (hipérboles no plano x_{3}= const).
q_{3}=\text{const}: planos horizontais x_{3}=q_{3}.
Curvas coordenadas: q_{1} variável (com q_{2},q_{3} fixos) são ramos de hipérbole no plano x_{3}= const; q_{2} variável (com q_{1},q_{3} fixos) são elipses no plano x_{3}= const; q_{3} variável (com q_{1},q_{2} fixos) são retas paralelas ao eixo x_{3}.
As famílias são ortogonais; focos comuns em (\pm a,0); caso especial q_{1}=0 dá uma elipse degenerada (segmento [-a,a] em x_{2}=0).

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