Resolva os seguintes problemas de valores iniciais
Passo 1
O problema que temos aqui é resolver a equação diferencial de valor inicial $ y’ = t y $ com a condição inicial $ y(1) = 1 $. Vamos usar conceitos de equações diferenciais de primeira ordem e o método de separação de variáveis para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma equação diferencial. Uma equação diferencial relaciona uma função desconhecida $ y(t) $ com suas derivadas. No nosso caso, a equação $ y’ = t y $ indica que a derivada de $ y $ em relação a $ t $ é igual a $ t $ vezes $ y $.
Para resolver essa equação, vamos usar o método de separação de variáveis, que nos permite separar os termos que envolvem $ y $ dos que envolvem $ t $.
Passo 3
Vamos separar as variáveis $ y $ e $ t $ da seguinte forma:
Agora, temos as variáveis separadas em lados opostos da equação. O próximo passo é integrar ambos os lados para encontrar $ y $.
Passo 4
Integrando ambos os lados da equação:
A integral da esquerda é $ \ln|y| $ e a da direita é $ \frac{t^2}{2} $. Então, temos:
Onde $ C $ é a constante de integração que precisamos determinar usando a condição inicial.
Passo 5
Para encontrar $ C $, usamos a condição inicial $ y(1) = 1 $. Substituindo na equação:
Agora, substituímos $ C $ de volta na equação:
Para resolver para $ y $, aplicamos a função exponencial em ambos os lados:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é: