Resolva os seguintes problemas de valores iniciais
y^prime=t y, com y(1)=1

Passo 1

O problema que temos aqui é resolver a equação diferencial de valor inicial $ y’ = t y $ com a condição inicial $ y(1) = 1 $. Vamos usar conceitos de equações diferenciais de primeira ordem e o método de separação de variáveis para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma equação diferencial. Uma equação diferencial relaciona uma função desconhecida $ y(t) $ com suas derivadas. No nosso caso, a equação $ y’ = t y $ indica que a derivada de $ y $ em relação a $ t $ é igual a $ t $ vezes $ y $.
Para resolver essa equação, vamos usar o método de separação de variáveis, que nos permite separar os termos que envolvem $ y $ dos que envolvem $ t $.

Passo 3

Vamos separar as variáveis $ y $ e $ t $ da seguinte forma:
y
Agora, temos as variáveis separadas em lados opostos da equação. O próximo passo é integrar ambos os lados para encontrar $ y $.

Passo 4

Integrando ambos os lados da equação:
integral 1y , dy = integral t , dt
A integral da esquerda é $ \ln|y| $ e a da direita é $ \frac{t^2}{2} $. Então, temos:
ln|y|
Onde $ C $ é a constante de integração que precisamos determinar usando a condição inicial.

Passo 5

Para encontrar $ C $, usamos a condição inicial $ y(1) = 1 $. Substituindo na equação:
C
Agora, substituímos $ C $ de volta na equação:
y(1) = 1
Para resolver para $ y $, aplicamos a função exponencial em ambos os lados:
ln|1| = 1^22 + C Rightarrow 0 = 12 + C Rightarrow C = -12

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:
y(t) = e^t^2 - 12

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