Questão 6. Parametrize as superfícies abaixo, indicando o domínio dos parâmetros:
S=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x+2 y+3 z=10, x^{2}+y^{2} \leq 1\right\}. Resposta: \left(x, y, \frac{10-x-2 y}{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede para parametrizar a porção do plano
x + 2y + 3z = 10
que projeta sobre o disco
x^2 + y^2 \le 1.
O conteúdo envolve ver que essa superfície é o gráfico da função
z = \frac{10 - x - 2y}{3}
sobre o domínio planar D = \{(x,y)\mid x^2 + y^2 \le 1\}.

Passo 2

Como o plano pode ser escrito como função de x e y, definimos
z(x,y) = \frac{10 - x - 2y}{3}.
Isso mostra que cada ponto (x,y) no disco D gera um ponto na superfície via esse z.

Passo 3

Escolhemos como parâmetros diretamente
u = x, \quad v = y,
de modo que a parametrização é
\mathbf{r}(u,v) = \bigl(u,\;v,\;\tfrac{10 - u - 2v}{3}\bigr).

Passo 4

O domínio dos parâmetros (u,v) é exatamente o disco
D = \{(u,v)\in\mathbb{R}^2 \mid u^2 + v^2 \le 1\}.
Em outras palavras, todos os (u,v) com u^2+v^2\le1 percorrem toda a região pedida.

Resposta

\mathbf{r}(u,v) = \bigl(u,\,v,\,\tfrac{10 - u - 2v}{3}\bigr), \qquad (u,v)\in\{(u,v)\mid u^2 + v^2 \le 1\}.

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