Questão 6. Parametrize as superfícies abaixo, indicando o domínio dos parâmetros:
S=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid z=\sqrt{3\left(x^{2}+y^{2}\right)}, x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1\right\}.
Resposta: (r \cos \theta, r \operatorname{sen} \theta, \sqrt{3} r),(r, \theta) \in\left[0, \frac{1}{2}\right] \times[0,2 \pi]

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização da parte da superfície
S=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid z=\sqrt{3(x^2+y^2)},\;x^2+y^2+z^2\le1\},
ou seja, o “cone” z=\sqrt{3}\,\sqrt{x^2+y^2} truncado pelo interior da esfera unitária. Vamos usar coordenadas cilíndricas para parametrizar.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas definimos
x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta.
Pela equação do cone temos
z = \sqrt{3(x^2+y^2)} = \sqrt{3}\,r.
Logo uma parametrização candidata é
\mathbf{r}(r,\theta) = \bigl(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;\sqrt{3}\,r\bigr).

Passo 3

Para encontrar o intervalo de r, usamos a restrição
x^2+y^2+z^2 \le 1.
Substituindo x^2+y^2 = r^2 e z^2 = 3r^2 obtemos
r^2 + 3r^2 \le 1 \quad\Longrightarrow\quad 4r^2 \le 1 \quad\Longrightarrow\quad 0 \le r \le \tfrac12.

Passo 4

O parâmetro angular \theta deve percorrer toda a volta em torno do eixo z, isto é
0 \le \theta \le 2\pi.
Assim, o domínio dos parâmetros é
(r,\theta)\in\bigl[0,\tfrac12\bigr]\times[0,2\pi].

Resposta

A parametrização de S é
\mathbf{r}(r,\theta) = \bigl(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;\sqrt{3}\,r\bigr),
com (r,\theta)\in\bigl[0,\tfrac12\bigr]\times[0,2\pi].

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