Classificar cada uma das equações diferenciais dadas:
\frac{d^{2} y}{d t}+5 \frac{d y}{d x}+\cos (t+y)=\sin t

Passo 1

O enunciado pede para classificar a equação diferencial
\frac{d^{2}y}{dt^{2}} + 5\,\frac{dy}{dt} + \cos\bigl(t + y\bigr) = \sin t
O conteúdo é teoria de classificação de equações diferenciais ordinárias, onde identificamos: tipo (ordinária ou parcial), ordem, linearidade, autonomia e homogeneidade.

Passo 2

Determinar a ordem da equação. A ordem é dada pela maior derivada presente. Aqui aparece \frac{d^{2}y}{dt^{2}}, logo é uma equação de segunda ordem.

Passo 3

Verificar se é linear em y e suas derivadas. Para ser linear, os termos dependentes de y e de suas derivadas devem aparecer apenas com coeficientes que são funções de t, e sem composição não‐linear. O termo \cos\bigl(t + y\bigr) depende de y de forma não‐linear, portanto a equação é não‐linear.

Passo 4

Checar autonomia. Uma equação é autônoma se não aparece t isoladamente em suas funções de coeficiente ou termos independentes. Aqui aparecem \cos(t+y) e \sin t, que dependem explicitamente de t. Logo, é não‐autônoma.

Passo 5

Analisar homogeneidade. Em equações lineares, dizemos homogênea se o termo independente (lado direito) for zero. Mesmo sendo não‐linear, chamamos de não‐homogênea pois há o termo \sin t isolado. Portanto, é não‐homogênea.

Resposta

Trata-se de uma equação diferencial ordinária de segunda ordem, não‐linear, não‐autônoma e não‐homogênea.

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