Questão 1. Calcule a área e a massa das seguintes superfícies:
(a) z=1-x^{2}, 0 \leq x \leq 1 e 0 \leq y \leq x, sendo a densidade superficial \delta(x, y, z)=2 x^{2};

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a superfície dada:
  • Calcular a área da superfície definida por \;z=1-x^{2}\; sobre a região do plano com \;0\le x\le 1\; e \;0\le y\le x\;.
  • Calcular a massa dessa mesma superfície quando a densidade superficial é \;\delta(x,y,z)=2x^{2}\;.
Informações fornecidas (resumindo):
  • Equação da superfície: \;z=1-x^{2}\;.
  • Região de projeção no plano xy: \;D=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,\;0\le y\le x\} (triângulo no primeiro quadrante, peguei esses limites do enunciado).
  • Densidade superficial: \;\delta(x,y,z)=2x^{2}.

Passo 2

Fórmula útil para área de uma superfície dada como gráfico \;z=f(x,y)\;:
\text{Área}(S)=\iint_{D}\sqrt{1+f_x(x,y)^{2}+f_y(x,y)^{2}}\;dA.Á
Explicando essa fórmula de forma simples: um pequeno retângulo dA no plano xy corresponde a um pequeno “patch” na superfície cuja área é aproximadamente \sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\,dA. Aqui \;f_x\; e \;f_y\; são as derivadas parciais de \;f\; em relação a \;x\; e \;y\;, respectivamente.
Para massa da superfície com densidade \delta usamos:
\text{Massa}=\iint_{S}\delta\,dS=\iint_{D}\delta(x,y,f(x,y))\sqrt{1+f_x^{2}+f_y^{2}}\;dA.
Ou seja, multiplicamos a densidade pelo mesmo fator de área \sqrt{1+f_x^{2}+f_y^{2}} e integramos sobre a projeção D.

Passo 3

Calcule as derivadas parciais de f(x,y)=1-x^{2}:
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(1-x^{2})=-2x,\qquad f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(1-x^{2})=0.
Portanto o fator de escala é
\sqrt{1+f_x^{2}+f_y^{2}}=\sqrt{1+(-2x)^{2}+0^{2}}=\sqrt{1+4x^{2}}.

Passo 4

Montando a integral para a área usando D (onde \;y vai de \;0 a \;x e \;x vai de \;0 a \;1):
\text{Área}(S)=\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{x}\sqrt{1+4x^{2}}\;dy\,dx.Á
Como o integrando não depende de y, a integração em y só dá um fator x:
\text{Área}(S)=\int_{0}^{1} x\sqrt{1+4x^{2}}\;dx.Á

Passo 5

Avaliação da integral \displaystyle \int_{0}^{1} x\sqrt{1+4x^{2}}\;dx.
Use a substituição \;u=1+4x^{2}\;. Então \;du=8x\,dx\;, ou seja \;x\,dx=\dfrac{du}{8}. Os limites: quando x=0 temos u=1; quando x=1 temos u=5.
Transformando a integral:
\int_{0}^{1} x\sqrt{1+4x^{2}}\;dx=\int_{u=1}^{5}\sqrt{u}\cdot\frac{du}{8}=\frac{1}{8}\int_{1}^{5}u^{1/2}\;du.
Calcule a primitiva:
\int u^{1/2}\,du=\frac{2}{3}u^{3/2}.
Portanto
\frac{1}{8}\left[\frac{2}{3}u^{3/2}\right]_{1}^{5}=\frac{1}{12}\bigl(5^{3/2}-1^{3/2}\bigr)=\frac{1}{12}\bigl(5\sqrt{5}-1\bigr).
Logo a área é
\text{Área}(S)=\frac{1}{12}\bigl(5\sqrt{5}-1\bigr).Á

Passo 6

Agora a massa. Usamos a fórmula
\text{Massa}=\iint_{D}\delta(x,y,f(x,y))\sqrt{1+f_x^{2}+f_y^{2}}\;dA.
Aqui \delta(x,y,f(x,y))=2x^{2} e o fator \sqrt{1+f_x^{2}+f_y^{2}}=\sqrt{1+4x^{2}}. Assim
\text{Massa}=\int_{0}^{1}\int_{0}^{x}2x^{2}\sqrt{1+4x^{2}}\;dy\,dx.
Integre em y primeiro (o integrando não depende de y), obtendo fator x:
\text{Massa}=\int_{0}^{1}2x^{2}\cdot x\sqrt{1+4x^{2}}\;dx=\int_{0}^{1}2x^{3}\sqrt{1+4x^{2}}\;dx.

Passo 7

Avaliação da integral \displaystyle \int_{0}^{1}2x^{3}\sqrt{1+4x^{2}}\;dx.
Novamente use a substituição \;u=1+4x^{2}\;, \;du=8x\,dx\;. Precisamos reescrever x^{3}\,dx. Observe:
x^{2}=\frac{u-1}{4},\qquad x\,dx=\frac{du}{8}.
Logo
x^{3}\,dx=x^{2}\cdot x\,dx=\frac{u-1}{4}\cdot\frac{du}{8}=\frac{u-1}{32}\,du.
Multiplicando pelo 2 que está fora:
2x^{3}\sqrt{1+4x^{2}}\,dx=2\sqrt{u}\cdot\frac{u-1}{32}\,du=\frac{1}{16}\bigl(u^{3/2}-u^{1/2}\bigr)\,du.
Assim a integral vira
\text{Massa}=\frac{1}{16}\int_{u=1}^{5}\bigl(u^{3/2}-u^{1/2}\bigr)\,du.
Calcule as primitivas:
\int u^{3/2}\,du=\frac{2}{5}u^{5/2},\qquad \int u^{1/2}\,du=\frac{2}{3}u^{3/2}.
Portanto
\text{Massa}=\frac{1}{16}\left[\frac{2}{5}u^{5/2}-\frac{2}{3}u^{3/2}\right]_{1}^{5} =\frac{1}{8}\left[\frac{1}{5}u^{5/2}-\frac{1}{3}u^{3/2}\right]_{1}^{5}.

Passo 8

Avalie em u=5 e u=1. Note que 5^{3/2}=5\sqrt{5} e 5^{5/2}=25\sqrt{5}, enquanto 1^{3/2}=1 e 1^{5/2}=1. Então
\text{Massa}=\frac{1}{8}\Bigl(\frac{1}{5}\cdot 25\sqrt{5}-\frac{1}{3}\cdot 5\sqrt{5}-\bigl(\frac{1}{5}-\frac{1}{3}\bigr)\Bigr).
Calcule termos:
\frac{1}{5}\cdot 25\sqrt{5}=5\sqrt{5},\qquad \frac{1}{3}\cdot 5\sqrt{5}=\frac{5}{3}\sqrt{5},
e
\frac{1}{5}-\frac{1}{3}=-\frac{2}{15}.
Assim o conteúdo entre parênteses é
\Bigl(5\sqrt{5}-\frac{5}{3}\sqrt{5}\Bigr)-\Bigl(-\frac{2}{15}\Bigr) =\frac{10}{3}\sqrt{5}+\frac{2}{15}.
Multiplicando por \dfrac{1}{8}:
\text{Massa}=\frac{1}{8}\left(\frac{10}{3}\sqrt{5}+\frac{2}{15}\right) =\frac{50\sqrt{5}+2}{120}=\frac{25\sqrt{5}+1}{60}.

Resposta

\displaystyle \text{Área}(S)=\frac{1}{12}\bigl(5\sqrt{5}-1\bigr)Á
\displaystyle \text{Massa}=\frac{25\sqrt{5}+1}{60}

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