Questão 1. Calcule a área e a massa das seguintes superfícies:
(a)
e
, sendo a densidade superficial
;
(a)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a superfície dada:
- Calcular a área da superfície definida por
sobre a região do plano com e . - Calcular a massa dessa mesma superfície quando a densidade superficial é
.
Informações fornecidas (resumindo):
- Equação da superfície:
. - Região de projeção no plano
: (triângulo no primeiro quadrante, peguei esses limites do enunciado). - Densidade superficial:
.
Passo 2
Fórmula útil para área de uma superfície dada como gráfico
:
Explicando essa fórmula de forma simples: um pequeno retângulo
no plano
corresponde a um pequeno “patch” na superfície cuja área é aproximadamente
. Aqui
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente.
Para massa da superfície com densidade
usamos:
Ou seja, multiplicamos a densidade pelo mesmo fator de área
e integramos sobre a projeção
.
Passo 3
Calcule as derivadas parciais de
:
Portanto o fator de escala é
Passo 4
Montando a integral para a área usando
(onde
vai de
a
e
vai de
a
):
Como o integrando não depende de
, a integração em
só dá um fator
:
Passo 5
Avaliação da integral
.
Use a substituição
. Então
, ou seja
. Os limites: quando
temos
; quando
temos
.
Transformando a integral:
Calcule a primitiva:
Portanto
Logo a área é
Passo 6
Agora a massa. Usamos a fórmula
Aqui
e o fator
. Assim
Integre em
primeiro (o integrando não depende de
), obtendo fator
:
Passo 7
Avaliação da integral
.
Novamente use a substituição
,
. Precisamos reescrever
. Observe:
Logo
Multiplicando pelo
que está fora:
Assim a integral vira
Calcule as primitivas:
Portanto
Passo 8
Avalie em
e
. Note que
e
, enquanto
e
. Então
Calcule termos:
e
Assim o conteúdo entre parênteses é
Multiplicando por
: