Questão 9 (2,0 pts) Resolva
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a função
que satisfaz a equação em derivadas parciais
com as condições de contorno
Portanto a pergunta é: determinar explicitamente
definida para
que satisfaz a PDE dada e essas condições.
Passo 2
Vamos usar uma ideia intuitiva: seguir curvas no plano
chamadas características, ao longo das quais a derivada de
reduz a PDE a uma equação ordinária. Para isso construímos o sistema de equações das características usando as componentes que aparecem multiplicando
e
.
Escrevemos o sistema paramétrico (usando um parâmetro
) como
Aqui a primeira equação vem porque a componente na frente de
é
, a segunda porque a componente na frente de
é
, e a terceira porque, ao parametrizar por
, a derivada total
é exatamente a combinação
, que pela PDE vale
.
Passo 3
Resolvemos primeiro a equação para
:
Podemos escolher o parâmetro de modo conveniente: tomamos
(ou seja, fixamos a constante de integração
). Assim ao longo de uma característica podemos tratá-la como função de
.
Com isso podemos escrever a equação para
em termos de
, dividindo
por
:
Isto é uma equação diferencial ordinária simples para
:
Passo 4
Resolvendo
por separação de variáveis:
Como estamos no domínio
, temos
(ou
caso trivial) e portanto
onde
é uma constante ao longo da característica. Isso mostra que a quantidade
é constante ao longo de cada característica (ou seja,
é uma primeira integral). Em linguagem simples: cada característica é dada por
constante.
Passo 5
Agora escrevemos a equação para
ao longo da característica como uma equação em
. Lembrando que ao longo da característica temos
, a equação
com
vira
Integramos em
, tratando
como constante (pois é invariante na característica):
onde
é uma função arbitrária de
(constante de integração que pode depender da característica).
Precisamos calcular
. Usando integração por partes ou lembrando forma padrão:
Portanto
Passo 6
Voltando às variáveis
, lembrando que
, temos
Logo a solução geral dada pelas características é
onde
é uma função arbitrária a ser determinada pelas condições de contorno.
Esse é um passo importante: a solução geral tem uma parte explícita
e uma parte arbitrária
que depende apenas do invariante
. A intuição: ao longo da curva
constante, a solução difere apenas por uma constante que depende dessa constante de característica.
Passo 7
Agora aplicamos as condições iniciais para determinar
.
Primeira condição: para
e
,
Substituindo em nossa forma geral:
Portanto para todo
Segunda condição (verificação de consistência): para
e
,
Substituindo:
Com
temos
, consistente com essa condição. Logo a escolha
satisfaz ambas as condições.
Passo 8
Substituindo
na solução geral:
Simplificando,
Vou fazer uma checagem rápida (sempre bom): calculemos
e
.
Então
que confirma que a PDE é satisfeita. E pelas condições:
e
.