Questão 9 (2,0 pts) Resolva
x \frac{\partial w}{\partial x}+\frac{\partial w}{\partial t}=x t,\left\{\begin{array}{lll} w(x, 0)=0 & , s e & x \geq 0 \\\ w(0, t)=0 & , s e & t \geq 0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a função w(x,t) que satisfaz a equação em derivadas parciais
x \frac{\partial w}{\partial x}+\frac{\partial w}{\partial t}=x t,
com as condições de contorno
w(x,0)=0\quad\text{para }\;x\ge 0,
w(0,t)=0\quad\text{para }\;t\ge 0.
Portanto a pergunta é: determinar explicitamente w(x,t) definida para x\ge0,\;t\ge0 que satisfaz a PDE dada e essas condições.

Passo 2

Vamos usar uma ideia intuitiva: seguir curvas no plano (x,t) chamadas características, ao longo das quais a derivada de w reduz a PDE a uma equação ordinária. Para isso construímos o sistema de equações das características usando as componentes que aparecem multiplicando \partial w/\partial x e \partial w/\partial t.
Escrevemos o sistema paramétrico (usando um parâmetro s) como
\frac{dx}{ds}=x,\qquad \frac{dt}{ds}=1,\qquad \frac{dw}{ds}=x t.
Aqui a primeira equação vem porque a componente na frente de \partial w/\partial x é x, a segunda porque a componente na frente de \partial w/\partial t é 1, e a terceira porque, ao parametrizar por s, a derivada total dw/ds é exatamente a combinação x w_x + 1\cdot w_t, que pela PDE vale x t.

Passo 3

Resolvemos primeiro a equação para t:
\frac{dt}{ds}=1\quad\Rightarrow\quad t=s+C_1.
Podemos escolher o parâmetro de modo conveniente: tomamos s=t (ou seja, fixamos a constante de integração C_1=0). Assim ao longo de uma característica podemos tratá-la como função de t.
Com isso podemos escrever a equação para x em termos de t, dividindo \frac{dx}{ds} por \frac{dt}{ds}:
\frac{dx}{dt}=\frac{dx/ds}{dt/ds}=\frac{x}{1}=x.
Isto é uma equação diferencial ordinária simples para x(t):
\frac{dx}{dt}=x.

Passo 4

Resolvendo \frac{dx}{dt}=x por separação de variáveis:
\frac{dx}{x}=dt\quad\Rightarrow\quad \ln|x|=t+C_2.
Como estamos no domínio x\ge0, temos x>0 (ou x=0 caso trivial) e portanto
\ln x = t + C_2 \quad\Rightarrow\quad x = C\,e^{t},
onde C=e^{C_2} é uma constante ao longo da característica. Isso mostra que a quantidade
u:=x e^{-t}
é constante ao longo de cada característica (ou seja, u é uma primeira integral). Em linguagem simples: cada característica é dada por x e^{-t}= constante.

Passo 5

Agora escrevemos a equação para w ao longo da característica como uma equação em t. Lembrando que ao longo da característica temos x=x(t)=u e^{t}, a equação \frac{dw}{ds}=x t com s=t vira
\frac{dw}{dt}=x t = u e^{t}\,t.
Integramos em t, tratando u como constante (pois é invariante na característica):
w(t)=u\int t e^{t}\,dt + \Phi(u),
onde \Phi(u) é uma função arbitrária de u (constante de integração que pode depender da característica).
Precisamos calcular \int t e^{t}\,dt. Usando integração por partes ou lembrando forma padrão:
\int t e^{t}\,dt = (t-1)e^{t} + \text{const}.
Portanto
w(t)=u\,(t-1)e^{t} + \Phi(u).

Passo 6

Voltando às variáveis (x,t), lembrando que u=x e^{-t}, temos
u\,(t-1)e^{t} = \bigl(x e^{-t}\bigr)(t-1)e^{t} = x(t-1).
Logo a solução geral dada pelas características é
w(x,t)=x(t-1) + \Phi\bigl(x e^{-t}\bigr),
onde \Phi é uma função arbitrária a ser determinada pelas condições de contorno.
Esse é um passo importante: a solução geral tem uma parte explícita x(t-1) e uma parte arbitrária \Phi que depende apenas do invariante x e^{-t}. A intuição: ao longo da curva x e^{-t}= constante, a solução difere apenas por uma constante que depende dessa constante de característica.

Passo 7

Agora aplicamos as condições iniciais para determinar \Phi.
Primeira condição: para t=0 e x\ge0,
w(x,0)=0.
Substituindo em nossa forma geral:
0 = w(x,0) = x(0-1) + \Phi\bigl(x e^{0}\bigr) = -x + \Phi(x).
Portanto para todo x\ge0
\Phi(x)=x.
Segunda condição (verificação de consistência): para x=0 e t\ge0,
w(0,t)=0.
Substituindo:
0 = w(0,t) = 0\cdot(t-1) + \Phi\bigl(0\cdot e^{-t}\bigr) = \Phi(0).
Com \Phi(x)=x temos \Phi(0)=0, consistente com essa condição. Logo a escolha \Phi(u)=u satisfaz ambas as condições.

Passo 8

Substituindo \Phi(u)=u na solução geral:
w(x,t)=x(t-1) + \bigl(x e^{-t}\bigr).
Simplificando,
w(x,t)=x\bigl(t-1+e^{-t}\bigr).
Vou fazer uma checagem rápida (sempre bom): calculemos \partial w/\partial x e \partial w/\partial t.
\frac{\partial w}{\partial x}=t-1+e^{-t},
\frac{\partial w}{\partial t}=x\bigl(1 - e^{-t}\bigr).
Então
x\frac{\partial w}{\partial x}+\frac{\partial w}{\partial t}=x\bigl(t-1+e^{-t}\bigr)+x\bigl(1-e^{-t}\bigr)=xt,
que confirma que a PDE é satisfeita. E pelas condições: w(x,0)=x(0-1+1)=0 e w(0,t)=0.

Resposta

w(x,t)=x\bigl(t-1+e^{-t}\bigr)

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