Um recipiente em forma de paralelepípedo com base quadrada deve ter um volume de
. O material para a base e a tampa do recipiente custa
por
e dos lados,
por
. Encontre as dimensões do recipiente que apresente o menor custo.
Passo 1
O enunciado pede que eu encontre as dimensões de um recipiente em forma de paralelepípedo com base quadrada que minimize o custo do material, sabendo que o recipiente deve ter volume
. As informações dadas são:
- Volume exigido:
. - A base é quadrada, ou seja, a base tem lado igual em ambas as direções.
- Custo do material para a base e a tampa:
por . - Custo do material para os quatro lados:
por . - Queremos as dimensões (lado da base e altura) que resultem no menor custo possível.
Passo 2
Defino as variáveis que vou usar (assim fica mais fácil pensar e escrever as contas):
- Seja
o comprimento do lado da base, em centímetros. - Seja
a altura do paralelepípedo, em centímetros.
Pelo enunciado, o volume do recipiente deve ser. O volume de um paralelepípedo com base quadrada é a área da base vezes a altura, ou seja:
Essa é a restrição entre
e
.
Passo 3
Agora vou escrever o custo total em função das áreas e dos preços:
- Área da base:
. - Área da tampa:
. - Área total das duas (base + tampa):
. - Cada face lateral tem área
(são 4 faces iguais), então área total das laterais: .
Os custos por cm² são dados. Assim o custo total
em reais é
Faço a multiplicação dos coeficientes:
Passo 4
Vou eliminar
usando a restrição de volume para ficar com
só em função de
. Da relação de volume temos
Substituo na expressão de
:
Simplifico o segundo termo:
. Calculo
:
Portanto
Passo 5
Observação sobre domínio: temos
(um comprimento deve ser positivo). Quero encontrar o valor de
que minimiza
.
Passo 6
Para encontrar extremos de uma função diferenciável em um intervalo aberto, calculo a derivada e procuro pontos críticos. Vou lembrar rapidamente a regra básica de derivação que vou usar:
- Se
então . - Se
(com constante), então .
Aplico isso a
. A derivada é
Passo 7
Encontro os pontos críticos impondo
:
Multiplico ambos os lados por
(válido para
):
Então
Agora tomo a raiz cúbica:
Posso verificar que
, logo
Passo 8
Uso a restrição de volume para obter
:
Passo 9
Preciso verificar que esse ponto crítico realmente dá mínimo e não máximo. Vou usar a segunda derivada. A segunda derivada de
é
Uma forma de ver o termo: derivando
obtém-se
. Para todo
temos
, em particular em
:
Como a segunda derivada é positiva,
é convexo ali e o ponto crítico é um mínimo local. Além disso, analisando o comportamento nas extremidades: quando
o termo
e quando
o termo
. Portanto há um único mínimo global e ele ocorre no ponto crítico encontrado.
Passo 10
Conclusão prática (resumo das dimensões que devemos usar): o lado da base deve ser
e a altura
. Dá pra anotar isso rapidinho na prova e justificar com as etapas acima.
Resposta
Lado da base
Altura
Altura