Um recipiente em forma de paralelepípedo com base quadrada deve ter um volume de 2.250 \mathrm{~cm}^{3}. O material para a base e a tampa do recipiente custa \mathrm{R} \$10,00 por \mathrm{cm}^{2} e dos lados, \mathrm{R} \$ 15,00 por \mathrm{cm}^{2}. Encontre as dimensões do recipiente que apresente o menor custo.

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre as dimensões de um recipiente em forma de paralelepípedo com base quadrada que minimize o custo do material, sabendo que o recipiente deve ter volume 2250\\ \mathrm{cm}^3. As informações dadas são:
  • Volume exigido: \;2250\\ \mathrm{cm}^3.
  • A base é quadrada, ou seja, a base tem lado igual em ambas as direções.
  • Custo do material para a base e a tampa: \mathrm{R}\$\,10{,}00 por \mathrm{cm}^2.
  • Custo do material para os quatro lados: \mathrm{R}\$\,15{,}00 por \mathrm{cm}^2.
  • Queremos as dimensões (lado da base e altura) que resultem no menor custo possível.

Passo 2

Defino as variáveis que vou usar (assim fica mais fácil pensar e escrever as contas):
  • Seja x o comprimento do lado da base, em centímetros.
  • Seja h a altura do paralelepípedo, em centímetros.
    Pelo enunciado, o volume do recipiente deve ser \;2250\\ \mathrm{cm}^3. O volume de um paralelepípedo com base quadrada é a área da base vezes a altura, ou seja:
x^2 h = 2250.
Essa é a restrição entre x e h.

Passo 3

Agora vou escrever o custo total em função das áreas e dos preços:
  • Área da base: \;x^2.
  • Área da tampa: \;x^2.
  • Área total das duas (base + tampa): \;2x^2.
  • Cada face lateral tem área \;x\cdot h (são 4 faces iguais), então área total das laterais: \;4xh.
Os custos por cm² são dados. Assim o custo total C em reais é
C = (\text{custo das duas bases}) + (\text{custo das laterais})
C = 10\cdot(2x^2) + 15\cdot(4xh).
Faço a multiplicação dos coeficientes:
C = 20x^2 + 60xh.

Passo 4

Vou eliminar h usando a restrição de volume para ficar com C só em função de x. Da relação de volume temos
h = \frac{2250}{x^2}.
Substituo na expressão de C:
C(x) = 20x^2 + 60x\left(\frac{2250}{x^2}\right).
Simplifico o segundo termo: 60x\cdot \dfrac{2250}{x^2} = 60\cdot 2250 \cdot x^{-1}. Calculo 60\cdot 2250:
60\cdot 2250 = 60\cdot (2000+250) = 120000 + 15000 = 135000.
Portanto
C(x) = 20x^2 + \frac{135000}{x}.

Passo 5

Observação sobre domínio: temos x>0 (um comprimento deve ser positivo). Quero encontrar o valor de x>0 que minimiza C(x).

Passo 6

Para encontrar extremos de uma função diferenciável em um intervalo aberto, calculo a derivada e procuro pontos críticos. Vou lembrar rapidamente a regra básica de derivação que vou usar:
  • Se f(x)=x^n então f'(x)=n x^{n-1}.
  • Se f(x)=k x^{-1} (com k constante), então f'(x)=-k x^{-2}.
Aplico isso a C(x)=20x^2 + 135000 x^{-1}. A derivada é
C'(x) = 40x - 135000 x^{-2}.

Passo 7

Encontro os pontos críticos impondo C'(x)=0:
40x - 135000 x^{-2} = 0.
Multiplico ambos os lados por x^2 (válido para x>0):
40x^3 - 135000 = 0.
Então
40x^3 = 135000
x^3 = \frac{135000}{40} = 3375.
Agora tomo a raiz cúbica:
x = \sqrt[3]{3375}.
Posso verificar que 15^3 = 15\cdot 15\cdot 15 = 225\cdot 15 = 3375, logo
x = 15\\ \mathrm{cm}.

Passo 8

Uso a restrição de volume para obter h:
h = \frac{2250}{x^2} = \frac{2250}{15^2} = \frac{2250}{225} = 10\\ \mathrm{cm}.

Passo 9

Preciso verificar que esse ponto crítico realmente dá mínimo e não máximo. Vou usar a segunda derivada. A segunda derivada de C é
C''(x) = 40 + 270000 x^{-3}.
Uma forma de ver o termo: derivando -135000 x^{-2} obtém-se 270000 x^{-3}. Para todo x>0 temos C''(x)>0, em particular em x=15:
C''(15) = 40 + \frac{270000}{15^3} = 40 + \frac{270000}{3375} = 40 + 80 = 120 > 0.
Como a segunda derivada é positiva, C é convexo ali e o ponto crítico é um mínimo local. Além disso, analisando o comportamento nas extremidades: quando x\to 0^+ o termo \dfrac{135000}{x}\to +\infty e quando x\to +\infty o termo 20x^2\to +\infty. Portanto há um único mínimo global e ele ocorre no ponto crítico encontrado.

Passo 10

Conclusão prática (resumo das dimensões que devemos usar): o lado da base deve ser \;15\\ \mathrm{cm} e a altura \;10\\ \mathrm{cm}. Dá pra anotar isso rapidinho na prova e justificar com as etapas acima.

Resposta

Lado da base =15\\ \mathrm{cm}
Altura =10\\ \mathrm{cm}

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