Questão 7. Calcule a área da superfície de revolução das curvas paramétricas a seguir em torno do eixo
.
Passo 1
Queremos calcular a área da superfície gerada pela curva paramétrica em torno do eixo
. A curva é dada por
e
, com
. Vamos usar o conteúdo de áreas de superfícies de revolução de curvas paramétricas, cuja fórmula é
Passo 2
Primeiro, calculamos as derivadas:
Em seguida, montamos o elemento de comprimento inclinado:
Passo 3
Agora substituímos na fórmula de área:
Passo 4
Para calcular
, separamos em duas partes:
Usamos fórmulas conhecidas:
- Com
, fica
- Aqui
, fica
-
-
Passo 5
Calculando os dois termos de
:
-
-
Avaliando em e dá
Passo 6
Somando os resultados:
Portanto, a área da superfície é