Questão 7. Calcule a área da superfície de revolução das curvas paramétricas a seguir em torno do eixo x.
x=14 t^2, y=t+3 ; 0 <= t <= 3

Passo 1

Queremos calcular a área da superfície gerada pela curva paramétrica em torno do eixo x. A curva é dada por x=tfrac14t^2 e y=t+3, com 0<= t<=3. Vamos usar o conteúdo de áreas de superfícies de revolução de curvas paramétricas, cuja fórmula é S=2piintegrala^b y(t)raizl(x'(t)r)^2+l(y'(t)r)^2,dt

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas: x'(t)=ddtl(tfrac14t^2r)= t2, y'(t)=ddt(t+3)=1
Em seguida, montamos o elemento de comprimento inclinado: raizl(x'(t)r)^2+l(y'(t)r)^2=raizl( t2r)^2+1^2=raizt^24+1=raizt^2+42

Passo 3

Agora substituímos na fórmula de área: S=2piintegral0^3 (t+3)cdotraizt^2+42,dt=piintegral0^3 (t+3)raizt^2+4,dt

Passo 4

Para calcular I=integral0^3 (t+3)raizt^2+4,dt, separamos em duas partes: I=integral0^3 traizt^2+4,dt+3integral0^3 raizt^2+4,dt Usamos fórmulas conhecidas:
- integral traizt^2+a^2,dt=(t^2+a^2)^3/23 Com a^2=4, fica (t^2+4)^3/23
- integralraizt^2+a^2,dt= t2raizt^2+a^2+a^22lnl(t+raizt^2+a^2r) Aqui a^2=4, fica t2raizt^2+4+2ln(t+raizt^2+4)

Passo 5

Calculando os dois termos de I:
  1. integral0^3 traizt^2+4,dt=l[(t^2+4)^3/23r]0^3=13^3/2-4^3/23=13raiz13-83
  2. 3integral0^3raizt^2+4,dt=3l[ t2raizt^2+4+2ln(t+raizt^2+4)r]0^3 Avaliando em t=3 e t=0 92raiz13+6ln(3+raiz13)-6ln2

Passo 6

Somando os resultados: I=13raiz13-83+92raiz13+6ln3+raiz132
Portanto, a área da superfície é S=pi,I=pil(13raiz13-83+92raiz13+6ln3+raiz132r)

Resposta

S=pil(tfrac13raiz13-83+tfrac92raiz13+6lntfrac3+raiz132r)

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