Questão 4. Calcule a área da superfície de revolução obtida pela rotação, em torno do eixo dos y, da curva dada por x=y^3, com 0 <= y <= 1.

Passo 1

O enunciado pede a área de superfície de revolução da curva x=y^3 para 0<= y<=1 girando em torno do eixo y. Para isso usamos a fórmula
S = integral0^1 2pi,x,raiz1+l(tfracdxdyr)^2,dy

Passo 2

Calculamos a derivada de x em relação a y. Como x=y^3, temos
dxdy=3y^2

Passo 3

Substituímos x=y^3 e tfracdxdy=3y^2 na fórmula e montamos o integral:
S =2piintegral0^1y^3raiz1+(3y^2)^2,dy =2piintegral0^1y^3raiz1+9y^4,dy

Passo 4

Para resolver o integral, fazemos a substituição
u=1+9y^4, du=36y^3,dy, y^3,dy=du36
Quando y=0, u=1; quando y=1, u=10. Assim
S =2piintegral1^10raizu,du36 =pi18integral1^10u^12,du

Passo 5

Calculamos o integral em u:
integral1^10u^12,du =l[tfracu^32tfrac32r]1^10 =23l(10^32-1r) =23l(10raiz10-1r)
Portanto
S =pi18cdot23l(10raiz10-1r) =pi27l(10raiz10-1r)

Resposta

S = pi27l(10raiz10-1r)

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