Determine a inversa da matriz A=[lll1 & 2 & 3 0 & 4 & 5 0 & 0 & 6].

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz triangular superior
A = 1 & 2 & 3 0 & 4 & 5 0 & 0 & 6
O conteúdo é inversão de matriz triangular: vamos usar o fato de que a inversa de uma matriz triangular superior também é triangular superior e aplicar uma fórmula recursiva para as entradas.

Passo 2

Por teoria, se A é triangular superior com entradas aij, então A^-1 também é triangular superior com
(A^-1)ii = 1aii,
e para i<j
(A^-1)ij = -1aii sumk=i+1^j aik,(A^-1)kj

Passo 3

Calculamos primeiro as entradas diagonais de A^-1:
(A^-1)11 = 11 = 1, (A^-1)22 = 14, (A^-1)33 = 16

Passo 4

Agora a entrada (2,3) de A^-1:
(A^-1)23 = -1a22,a23,(A^-1)33 = -14cdot 5cdot 16 = -524

Passo 5

Finalmente as entradas da primeira linha acima da diagonal:
1. Para (1,2):
(A^-1)12 = -1a11,a12,(A^-1)22 = -1cdot 2cdot 14 = -tfrac12
2. Para (1,3):
(A^-1)13 = -1a11l(a13,(A^-1)33+a12,(A^-1)23r) = -l(3cdot tfrac16 + 2cdot(-tfrac524)r) = -l(tfrac12 - tfrac512r) = -tfrac112

Resposta

A^-1 = 1 & -tfrac12 & -tfrac112[6pt] 0 & tfrac14 & -tfrac524[6pt] 0 & 0 & tfrac16 ]

Exercícios relacionados