Responda os itens a seguir:
a) Exiba a forma geral da matriz anti-simétrica de ordem 3 .
b) Calcule o traço da matriz encontrada no item (a).
c) Calcule o determinante da matriz encontrada no item (a). Essa matriz é inversível?

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a forma geral de uma matriz anti-simétrica de ordem 3, depois calcular o traço e o determinante dessa matriz e, por fim, dizer se ela é inversível. Vamos usar a definição de matriz anti-simétrica (ou skew-symmetric), que exige A^T = -A, e as propriedades de traço e determinante em dimensões ímpares.

Passo 2

Uma matriz A = (aij)3times3 satisfaz A^T = -A se e somente se todos os seus elementos diagonais são zero e cada elemento acima da diagonal é o negativo do correspondente abaixo. Logo, podemos introduzir três parâmetros a,b,cinR para a parte livre e escrever:
A = 0 & a & b -a & 0 & c -b & -c & 0

Passo 3

O traço de uma matriz é a soma de seus elementos diagonais. Aqui todos os elementos diagonais são zero, então
tr(A) = 0 + 0 + 0 = 0

Passo 4

Para o determinante, usamos a regra de Sarrus ou expansão por cofatores. Calculando
det(A) = 0cdot(0cdot0 - ccdot(-c)) - acdot((-a)cdot0 - ccdot(-b)) + bcdot((-a)cdot(-c) - 0cdot(-b))
= 0 - a,(0 + bc) + b,(ac - 0) = -abc + abc = 0
Também vale o resultado geral de que toda matriz anti-simétrica de dimensão ímpar tem determinante zero.

Passo 5

Como det(A)=0, a matriz não é inversível (não existe A^-1).

Resposta

a) A forma geral é
A = 0 & a & b -a & 0 & c -b & -c & 0 ,
com a,b,cinR.
b) tr(A)=0.
c) det(A)=0. Como o determinante é zero, A não é inversível.

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