Responda os itens a seguir:
a) Exiba a forma geral da matriz anti-simétrica de ordem 3 .
b) Calcule o traço da matriz encontrada no item (a).
c) Calcule o determinante da matriz encontrada no item (a). Essa matriz é inversível?
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a forma geral de uma matriz anti-simétrica de ordem , depois calcular o traço e o determinante dessa matriz e, por fim, dizer se ela é inversível. Vamos usar a definição de matriz anti-simétrica (ou skew-symmetric), que exige , e as propriedades de traço e determinante em dimensões ímpares.
Passo 2
Uma matriz satisfaz se e somente se todos os seus elementos diagonais são zero e cada elemento acima da diagonal é o negativo do correspondente abaixo. Logo, podemos introduzir três parâmetros para a parte livre e escrever:
Passo 3
O traço de uma matriz é a soma de seus elementos diagonais. Aqui todos os elementos diagonais são zero, então
tr(A) = 0 + 0 + 0 = 0
Passo 4
Para o determinante, usamos a regra de Sarrus ou expansão por cofatores. Calculando