Questão 6- Um tetraedro regular é inscrito numa esfera de 12 cm de diâmetro. Qual o volume do tetraedro?

Passo 1

O enunciado diz que temos um tetraedro regular inscrito numa esfera de diâmetro 12\text{ cm}. Logo o raio da esfera é
R = \frac{12}{2} = 6\text{ cm}.
Vamos usar dois resultados clássicos da geometria dos tetraedros regulares:
  1. a relação entre o raio da esfera circunscrita R e a aresta a;
  2. a fórmula do volume em função de a.

Passo 2

Para um tetraedro regular de aresta a, a esfera circunscrita (que passa pelos quatro vértices) tem raio dado por
R = \frac{a\sqrt{6}}{4}.

Passo 3

Isolando a em função de R, temos
a = \frac{4R}{\sqrt{6}} = \frac{4\cdot 6}{\sqrt{6}} = \frac{24}{\sqrt{6}} = 4\sqrt{6}\\ (\text{cm}).

Passo 4

A fórmula do volume de um tetraedro regular de aresta a é
V = \frac{a^3}{6\sqrt{2}}.

Passo 5

Substituindo a = 4\sqrt{6} em V:
V = \frac{(4\sqrt{6})^3}{6\sqrt{2}} = \frac{64\,( \sqrt{6})^3}{6\sqrt{2}} = \frac{64\cdot 6\sqrt{6}}{6\sqrt{2}} = 64\,\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = 64\sqrt{3}\\ (\text{cm}^3).

Resposta

O volume do tetraedro inscrito é
V = 64\sqrt{3}\\ \text{cm}^3.

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