Questão 7- Um tetraedro regular é inscrito numa esfera de 12 cm de diâmetro. Qual o volume do tetraedro?

Passo 1

O enunciado diz que um tetraedro regular está inscrito numa esfera de diâmetro 12 cm, ou seja, cujo raio é
R = \frac{12}{2} = 6\text{ cm}.
Queremos o volume desse tetraedro. Para isso, vamos usar duas fórmulas conhecidas para tetraedro regular: a relação entre o raio circunscrito R e a aresta a, e a fórmula do volume em função de a.

Passo 2

A relação entre o raio da esfera circunscrita R e a aresta a de um tetraedro regular é
R = \frac{a\sqrt{6}}{4}.

Passo 3

Isolando a na fórmula acima com R=6, temos
a = \frac{4R}{\sqrt{6}} = \frac{4\cdot 6}{\sqrt{6}} = \frac{24}{\sqrt{6}} = 4\sqrt{6}\text{ cm}.

Passo 4

A fórmula do volume de um tetraedro regular de aresta a é
V = \frac{a^3}{6\sqrt{2}}.
Substituindo a = 4\sqrt{6},
a^3 = (4\sqrt{6})^3 = 64\cdot 6\sqrt{6} = 384\sqrt{6},
V = \frac{384\sqrt{6}}{6\sqrt{2}} = 64\,\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = 64\sqrt{3}.

Resposta

64\sqrt{3}\,\text{cm}^3

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