Questão 7. Calcule, caso exista:
lim (x, y) (0,0) x yx+y

Passo 1

O enunciado pede calcular
lim(x,y)to(0,0) x,yx+y
O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis e, para verificar existência, vamos testar aproximações por diferentes curvas rumo a (0,0).

Passo 2

Considere a aproximação ao longo da reta y = m x, com mneq -1. Substituindo na função:
x,(m x)x + m x = m x^2(1+m)x = m x1+m
Como xto0, esse valor tende a
mcdot01+m=0
Logo, por todas as retas de declive mneq -1 o limite é zero.

Passo 3

Agora aproxime por uma curva que fure a simetria das retas, por exemplo
y = -x + kx^2, kneq 0
Nesse caso o denominador é
x + y = x +(-x + kx^2) = kx^2neq 0
para x pequeno. O numerador é
x,y = x(-x + kx^2) = -x^2 + kx^3
Logo
x,yx+y = -x^2 + kx^3k x^2 = -1k + x,
que, ao levar xto0, tende a -1/k, valor que depende de k.

Passo 4

Como alongo a curva y=-x+kx^2 obtemos limites -1/k que variam com k, mas ao longo de retas o limite é 0, concluímos que não há um valor único.

Resposta

O limite não existe.

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