Mostre que
f(x)=arccotan(x) Rightarrow f^prime(x)=-11+x^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)=arccot(x).
O conteúdo aqui é derivação de função inversa via diferenciação implícita, usando a identidade trigonométrica csc^2y=1+cot^2y.

Passo 2

Defina
y = arccot(x),
o que equivale a
x = cot(y)

Passo 3

Diferencie ambos os lados em relação a x. À direita temos
ddxl(cot(y)r) = -csc^2(y),dydx,
e à esquerda
ddx(x)=1
Logo
-csc^2(y),dydx = 1 Longrightarrow dydx = -1csc^2(y)

Passo 4

Use a identidade
csc^2(y) = 1 + cot^2(y)
Como de x = cot(y) segue cot^2(y)=x^2, temos
csc^2(y) = 1 + x^2
Portanto
dydx = -11+x^2

Resposta

f'(x)= -11+x^2

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