Calcule o fluxo do campo vetorial vecF através da caixa 0 <= x <= 2,0 <= y <= 3 e 0 <= z <= 4. Pode escolher a maneira que achar mais simples, calcular diretamente ou usar o teorema do divergente.
vecF=(3 x+4 y) i+(4 y+5 z) j+(5 z+3 x) k.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o fluxo do campo vetorial vec F=(3x+4y),vec i+(4y+5z),vec j+(5z+3x),vec k através da superfície da caixa definida por 0<= x<=2, 0<= y<=3 e 0<= z<=4. O conteúdo da matéria envolve fluxo de campo vetorial e o Teorema do Divergente, que relaciona o fluxo pela superfície fechada à integral tripla da divergência sobre o volume.

Passo 2

Para evitar calcular cada face da caixa separadamente, vamos usar o Teorema do Divergente. A teoria diz que o fluxo total de vec F através de uma superfície fechada S que envolve um volume V é dado por
integral duplaS vec Fcdothat n,dS = integral triplaV (nablacdotvec F),dV

Passo 3

Precisamos primeiro achar a divergência de vec F. Por definição,
nablacdotvec F = partialpartial x(3x+4y) + partialpartial y(4y+5z) + partialpartial z(5z+3x) Calculando cada termo, temos partial(3x+4y)/partial x=3, partial(4y+5z)/partial y=4 e partial(5z+3x)/partial z=5. Logo, nablacdotvec F = 3+4+5 = 12.

Passo 4

Agora basta integrar essa constante no volume da caixa. O volume V é dado por integral0^2integral0^3integral0^4 dV, ou seja,
integral triplaV (nablacdotvec F),dV = 12 times l(2times3times4r) Multiplicando, o volume é 2cdot3cdot4=24, então a integral vale 12cdot24=288.

Resposta

288

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