ao redor da curva fronteira do triângulo cortado do plano pelo primeiro octante, no sentido anti-horário quando vista da origem.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a circulação onde é a fronteira do triângulo obtido pela interseção do plano com o primeiro octante, orientado anti-horário visto da origem. O conteúdo usado aqui será o Teorema de Stokes, que relaciona a circulação de um campo com a integral de superfície de seu rotor.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o rotor de . Usando :
Passo 3
Precisamos escolher a orientação do vetor normal à superfície de modo que a curva C fique orientada anti-horário quando vista da origem. O vetor normal natural ao plano x+y+z=1 é (1,1,1), mas esse aponta para longe da origem. Para que a origem fique “do lado de cima” (e C seja anti-horário visto de lá), usamos o normal orientado (-1,-1,-1).
Passo 4
Parametrizamos a superfície pelo triângulo em xy:
vec r(x,y) = (x, y, 1-x-y), 0<= x,;0<= y,;x+y<=1
As derivadas são vec rx=(1,0,-1), vec ry=(0,1,-1) e
vec rxtimesvec ry = (1,1,1)
Para corresponder ao normal (-1,-1,-1), usamos dvec S = - (1,1,1),dx,dy.
Passo 5
O integrando em Stokes é
(nablatimesvec F)cdot dvec S = (-x,0,z-1)cdot[-(1,1,1)],dx,dy = [x - z + 1],dx,dy