Questão 5. Calcule a circulação do campo
F(x, y, z)=y i+x z j+z^2 k
ao redor da curva C fronteira do triângulo cortado do plano x+y+z=1 pelo primeiro octante, no sentido anti-horário quando vista da origem.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a circulação ointC vec Fcdot dvec r onde C é a fronteira do triângulo obtido pela interseção do plano x+y+z=1 com o primeiro octante, orientado anti-horário visto da origem. O conteúdo usado aqui será o Teorema de Stokes, que relaciona a circulação de um campo com a integral de superfície de seu rotor.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o rotor de vec F(x,y,z)=y,vec i + xz,vec j + z^2,vec k. Usando nablatimesvec F:
nablatimesvec F = vec i & vec j & vec k partial/partial x & partial/partial y & partial/partial z y & xz & z^2 = -x,vec i + 0,vec j + (z-1),vec k

Passo 3

Precisamos escolher a orientação do vetor normal à superfície de modo que a curva C fique orientada anti-horário quando vista da origem. O vetor normal natural ao plano x+y+z=1 é (1,1,1), mas esse aponta para longe da origem. Para que a origem fique “do lado de cima” (e C seja anti-horário visto de lá), usamos o normal orientado (-1,-1,-1).

Passo 4

Parametrizamos a superfície pelo triângulo em xy:
vec r(x,y) = (x, y, 1-x-y), 0<= x,;0<= y,;x+y<=1
As derivadas são vec rx=(1,0,-1), vec ry=(0,1,-1) e
vec rxtimesvec ry = (1,1,1)
Para corresponder ao normal (-1,-1,-1), usamos dvec S = - (1,1,1),dx,dy.

Passo 5

O integrando em Stokes é
(nablatimesvec F)cdot dvec S = (-x,0,z-1)cdot[-(1,1,1)],dx,dy = [x - z + 1],dx,dy
Como z=1-x-y, isso vira:
x - (1-x-y) +1 = 2x + y
Então a circulação é
integral duplaD(2x+y),dx,dy,
onde D é o triângulo 0<= x,;0<= y,;x+y<=1.

Passo 6

Basta calcular:
integral0^1integral0^1-x(2x+y),dy,dx =integral0^1l[2x(1-x)+tfrac(1-x)^22r]dx =tfrac12

Resposta

tfrac12

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