Questão 4. Seja S a parte do cilindro x^2+y^2=1 entre os planos z=0 e z=x+1.
  1. Parametrize e esboce S.
  2. Calcule integral duplaS z d S.

Passo 1

O enunciado pede a parte lateral do cilindro x²+y²=1 limitada pelos planos z=0 e z=x+1 e depois o fluxo escalar ∬_S z dS. O conteúdo é parametrização de superfície e cálculo de integral de superfície escalar.

Passo 2

Para parametrizar S, usamos coordenadas cilíndricas para o cilindro. Definimos parâmetros t∈[0,2π] e z∈[0,1+cos t], e a parametrização
r(t,z) = (x,y,z) = (cos t,;sin t,;z)
A superfície S corresponde a todos os pontos r(t,z) com t variando de 0 a 2π e z de 0 até z= x+1 = cos t +1.
O esboço de S é a curva circular de raio 1 em cada altura z, cujo topo varia conforme a reta inclinada z= x+1. Em t=0 (x=1) a altura máxima é 2, em t=π (x=-1) a altura máxima é 0, e nos demais ângulos vai interpolando.

Passo 3

Para calcular ∬_S z dS, montamos a integral dupla sobre (t,z):
integral duplaS z,dS = integralt=0^2piintegralz=0^1+cos t z,l|rt times rzr|,dz,dt

Passo 4

Calculamos derivadas parciais: r_t = (-\sin t, \cos t, 0) e r_z = (0,0,1). O produto vetorial dá
rt times rz = (cos t,;sin t,;0)
e seu módulo é raizcos^2t+sin^2t=1. Logo dS = dz dt.

Passo 5

Substituindo,
integral duplaS z,dS = integral0^2piintegral0^1+cos t z,dz,dt
Fazendo a integral interna:
integral0^1+cos tz,dz = l[tfrac12 z^2r]0^1+cos t = tfrac12(1+cos t)^2
Portanto
integral duplaS z,dS = tfrac12integral0^2pi(1+cos t)^2,dt

Passo 6

Expandindo e usando cos^2t=tfrac12(1+cos2t), o integrando fica
(1+cos t)^2 =1+2cos t+tfrac12(1+cos2t)=tfrac32+2cos t+tfrac12cos2t
Então
integral duplaS z,dS = tfrac12l[integral0^2pitfrac32,dt +integral0^2pi2cos t,dt +integral0^2pitfrac12cos2t,dtr]

Passo 7

As integrais de cos t e cos2t em um período valem zero, sobrando
integral duplaS z,dS = tfrac12 cdot tfrac32 cdot 2pi = tfrac3pi2

Resposta

3pi2

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