Resolva a integral:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrando funções trigonométricas com potências. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de substituição e manipulação de identidades trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a tangente e a secante estão relacionadas pela identidade
. Isso pode ser útil para simplificar a expressão. Além disso, como temos potências ímpares de tangente e secante, uma boa estratégia é separar uma
ou uma
para facilitar a substituição.
Passo 3
Vamos reescrever a integral separando uma
:
Agora, usamos a identidade
:
Simplificando os expoentes:
Passo 4
Vamos agora fazer uma substituição para simplificar a integral. Observamos que temos
e
, e sabemos que a derivada de
é
. Portanto, vamos definir:
Passo 5
Substituindo
e
na integral original:
Simplificando os termos:
Agora, percebemos que
. Então, substituímos novamente:
Passo 6
Agora, a integral ficou bem mais simples:
Integrando em relação a
:
Passo 7
Finalmente, substituímos
de volta em termos de
: