Resolva a integral:
integral tg^3(3 x) sec ^5(3 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral tan^3(3x) sec^5(3x) , dx. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrando funções trigonométricas com potências. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de substituição e manipulação de identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a tangente e a secante estão relacionadas pela identidade tan^2(x) = sec^2(x) - 1. Isso pode ser útil para simplificar a expressão. Além disso, como temos potências ímpares de tangente e secante, uma boa estratégia é separar uma sec^2(3x) ou uma tan(3x)sec(3x) para facilitar a substituição.

Passo 3

Vamos reescrever a integral separando uma sec^2(3x):
integral tan^3(3x) sec^5(3x) , dx = integral tan^2(3x) cdot sec^4(3x) cdot tan(3x) sec(3x) , dx
Agora, usamos a identidade tan^2(3x) = sec^2(3x) - 1:
integral (sec^2(3x) - 1) cdot sec^4(3x) cdot tan(3x) sec(3x) , dx
Simplificando os expoentes:
integral (sec^2(3x) - 1) cdot sec^5(3x) cdot tan(3x) , dx

Passo 4

Vamos agora fazer uma substituição para simplificar a integral. Observamos que temos tan(3x) e sec^5(3x), e sabemos que a derivada de tan(3x) é 3sec^2(3x). Portanto, vamos definir:
u = tan(3x)
du = 3sec^2(3x) , dx Rightarrow dx = du3sec^2(3x)

Passo 5

Substituindo u e dx na integral original:
integral (sec^2(3x) - 1) cdot sec^5(3x) cdot u cdot du3sec^2(3x)
Simplificando os termos:
13 integral (sec^2(3x) - 1) cdot sec^3(3x) cdot u , du
Agora, percebemos que sec^2(3x) = 1 + tan^2(3x) = 1 + u^2. Então, substituímos novamente:
13 integral (1 + u^2 - 1) cdot sec^3(3x) cdot u , du = 13 integral u^3 , du

Passo 6

Agora, a integral ficou bem mais simples:
13 integral u^3 , du
Integrando em relação a u:
13 cdot u^44 + C = u^412 + C

Passo 7

Finalmente, substituímos u de volta em termos de x:
tan^4(3x)12 + C

Resposta

integral tan^3(3x) sec^5(3x) , dx = tan^4(3x)12 + C

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