Determine a árca da regiāo comprendida entre os gráficos das funçōes
e
:
e
, entre os pontos de interseção dos dois gráficos.
Passo 1
O enunciado nos dá as duas funções
e pede a área da região compreendida entre os gráficos de
e
entre os pontos de interseção dos dois gráficos.
Informações relevantes que o enunciado fornece e o que precisamos encontrar:
- As funções são
e . - A região pedida é a área limitada pelos dois gráficos entre os pontos onde eles se intersectam.
- Precisamos:
- determinar as abscissas (os valores de
) dos pontos de interseção; - identificar qual função está por cima (ou seja, a função superior) nessa faixa;
- calcular a área usando integração.
- determinar as abscissas (os valores de
Passo 2
Vamos achar os pontos de interseção resolvendo a equação
Como há o valor absoluto, separamos em dois casos.
Caso
:
. Então
Essa quadrática fatoriza:
portanto as raízes são
e
. No caso
só vale
.
Caso
:
. Então
Fatorizando:
portanto as raízes são
e
. No caso
só vale
.
Conclusão: os pontos de interseção têm abscissas
e
. Os respectivos pontos são
e
, pois por exemplo
e
.
Passo 3
Precisamos saber qual função é a superior entre
e
. Uma maneira rápida é avaliar em um ponto interior, por exemplo em
:
Como
e as duas curvas se cruzam apenas nas extremidades aqui, podemos concluir que
é a função superior e
a inferior no intervalo
. Logo a área procurada é a integral da diferença
nesse intervalo.
Passo 4
A fórmula geral da área entre duas curvas
e
entre
e
é
Aqui
e
, e o intervalo é
,
. Assim
Passo 5
Para simplificar o cálculo observe que a função integranda
é uma função par (ou seja,
), porque
é par e
também é par. Quando a integranda é par, vale a propriedade
Aplicando isso com
obtemos
No intervalo
temos
, então
Passo 6
Agora calculamos a integral passo a passo. Primeiro escrevemos a primitiva (antiderivada) do integrando
:
Avaliando de
a
:
Simplificando:
Lembrando do fator
que está fora da integral (Passo 5), a área total é