Determine a árca da regiāo comprendida entre os gráficos das funçōes f(x) e g(x) :
f(x)=6-x^{2} e g(x)=|x|, entre os pontos de interseção dos dois gráficos.

Passo 1

O enunciado nos dá as duas funções
f(x)=6-x^{2}\quad\text{e}\quad g(x)=|x|
e pede a área da região compreendida entre os gráficos de f e g entre os pontos de interseção dos dois gráficos.
Informações relevantes que o enunciado fornece e o que precisamos encontrar:
  • As funções são f(x)=6-x^{2} e g(x)=|x|.
  • A região pedida é a área limitada pelos dois gráficos entre os pontos onde eles se intersectam.
  • Precisamos:
    1. determinar as abscissas (os valores de x) dos pontos de interseção;
    2. identificar qual função está por cima (ou seja, a função superior) nessa faixa;
    3. calcular a área usando integração.

Passo 2

Vamos achar os pontos de interseção resolvendo a equação
6-x^{2}=|x|.
Como há o valor absoluto, separamos em dois casos.
Caso x\ge 0: |x|=x. Então
6-x^{2}=x \quad\Rightarrow\quad x^{2}+x-6=0.
Essa quadrática fatoriza:
x^{2}+x-6=(x+3)(x-2)=0,
portanto as raízes são x=-3 e x=2. No caso x\ge 0 só vale x=2.
Caso x<0: |x|=-x. Então
6-x^{2}=-x \quad\Rightarrow\quad x^{2}-x-6=0.
Fatorizando:
x^{2}-x-6=(x-3)(x+2)=0,
portanto as raízes são x=3 e x=-2. No caso x<0 só vale x=-2.
Conclusão: os pontos de interseção têm abscissas x=-2 e x=2. Os respectivos pontos são (-2,2) e (2,2), pois por exemplo f(2)=6-2^{2}=2 e g(2)=|2|=2.

Passo 3

Precisamos saber qual função é a superior entre x=-2 e x=2. Uma maneira rápida é avaliar em um ponto interior, por exemplo em x=0:
f(0)=6-0^{2}=6,\qquad g(0)=|0|=0.
Como f(0)>g(0) e as duas curvas se cruzam apenas nas extremidades aqui, podemos concluir que f(x) é a função superior e g(x) a inferior no intervalo [-2,2]. Logo a área procurada é a integral da diferença f(x)-g(x) nesse intervalo.

Passo 4

A fórmula geral da área entre duas curvas y_{\text{top}}(x) e y_{\text{bot}}(x) entre a e b é
\text{Área}=\int_{a}^{b}\bigl(y_{\text{top}}(x)-y_{\text{bot}}(x)\bigr)\,dx.Á
Aqui y_{\text{top}}(x)=f(x)=6-x^{2} e y_{\text{bot}}(x)=g(x)=|x|, e o intervalo é a=-2, b=2. Assim
A=\int_{-2}^{2}\bigl(6-x^{2}-|x|\bigr)\,dx.

Passo 5

Para simplificar o cálculo observe que a função integranda h(x)=6-x^{2}-|x| é uma função par (ou seja, h(-x)=h(x)), porque x^{2} é par e |x| também é par. Quando a integranda é par, vale a propriedade
\int_{-a}^{a} h(x)\,dx = 2\int_{0}^{a} h(x)\,dx.
Aplicando isso com a=2 obtemos
A=2\int_{0}^{2}\bigl(6-x^{2}-|x|\bigr)\,dx.
No intervalo [0,2] temos |x|=x, então
A=2\int_{0}^{2}\bigl(6-x^{2}-x\bigr)\,dx.

Passo 6

Agora calculamos a integral passo a passo. Primeiro escrevemos a primitiva (antiderivada) do integrando 6-x-x^{2}:
\int \bigl(6-x-x^{2}\bigr)\,dx = 6x - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{3} + C.
Avaliando de 0 a 2:
\left[6x - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{2} = \left(6\cdot 2 - \frac{2^{2}}{2} - \frac{2^{3}}{3}\right) - 0 = 12 - 2 - \frac{8}{3}.
Simplificando:
12-2=10,\qquad 10-\frac{8}{3}=\frac{30}{3}-\frac{8}{3}=\frac{22}{3}.
Lembrando do fator 2 que está fora da integral (Passo 5), a área total é
A=2\cdot \frac{22}{3}=\frac{44}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{44}{3}

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