Questão 7. Calcule o comprimento de arco das seguintes curvas:
y=12(e^x+e^-x); de (0,1) a (1, e+e^-12)

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva
y = 12l(e^x + e^-xr)
no intervalo de x=0 até x=1.
O conteúdo aqui é o comprimento de curva de uma função y=f(x), que usa a fórmula
L = integrala^b raiz1 + l(f'(x)r)^2,dx

Passo 2

Calculamos a derivada de y. Como
y = 12l(e^x + e^-xr),
temos
dydx = 12l(e^x - e^-xr) = sinh(x)
Aqui reconhecemos a função hiperbólica sinh(x).

Passo 3

Montamos o integrando de comprimento de arco:
raiz1 + l(y'r)^2 = raiz1 + sinh^2(x)
Pela identidade hiperbólica cosh^2(x) - sinh^2(x)=1, segue
1 + sinh^2(x) = cosh^2(x),
e como cosh(x)>=0,
raiz1 + sinh^2(x) = cosh(x)

Passo 4

O comprimento de arco é então
L = integral0^1 cosh(x),dx
Sabemos que a primitiva de cosh(x) é sinh(x), logo
L = l[sinh(x)r]0^1 = sinh(1) - sinh(0)
Como sinh(0)=0, obtemos
L = sinh(1)

Resposta

L = sinh(1) = e^1 - e^-12

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