Questão 3. Determine a transformada de laplace de
f(t)=t e^{-2 t}-e^{-3 t}-2, t \geq 0

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(t)=t e^{-2t}-e^{-3t}-2,\quad t\ge0.
Para isso vamos usar a propriedade de linearidade da transformada e as fórmulas básicas da tabela de Laplace.

Passo 2

Pela linearidade temos
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\mathcal{L}\{t e^{-2t}\}(s)\;-\;\mathcal{L}\{e^{-3t}\}(s)\;-\;2\,\mathcal{L}\{1\}(s).

Passo 3

Da tabela de transformadas sabemos que, para \Re(s)>-a,
\mathcal{L}\{e^{-at}\}(s)=\frac{1}{s+a},
\mathcal{L}\{t\,e^{-at}\}(s)=\frac{1}{(s+a)^{2}},
\mathcal{L}\{1\}(s)=\frac{1}{s}.
Aplicando com a=2 e a=3 obtemos
\mathcal{L}\{t e^{-2t}\}(s)=\frac{1}{(s+2)^{2}},\quad \mathcal{L}\{e^{-3t}\}(s)=\frac{1}{s+3},\quad \mathcal{L}\{1\}(s)=\frac{1}{s}.

Passo 4

Substituindo em \mathcal{L}\{f(t)\}(s) resulta
\mathcal{L}\{f(t)\}(s) =\frac{1}{(s+2)^{2}} -\frac{1}{s+3} -2\cdot\frac{1}{s}.

Resposta

\boxed{\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\frac{1}{(s+2)^{2}}-\frac{1}{s+3}-\frac{2}{s}}.

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