Questão 3. Calcule, em coordenadas cilíndricas, \iiint_{D} x d V, onde D é a região do primeiro octante limitada por x^{2}+y^{2} \leq 1 e o plano x+y+z-2=0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
I = \iiint_{D} x \,dV,
onde D é a região do primeiro octante x\ge0, y\ge0, z\ge0 limitada pelo cilindro x^{2}+y^{2}\le1 e pelo plano x+y+z=2.
O conteúdo necessário é a mudança para coordenadas cilíndricas e a execução de uma integral tripla.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad dV = r\,dz\,dr\,d\theta.
Como estamos no primeiro octante, \theta varia de 0 a \tfrac{\pi}{2}, e r varia de 0 a 1 (dado pelo cilindro). Para cada (r,\theta), z vai de 0 até a superfície do plano, isto é,
0 \le z \le 2 - (x+y) = 2 - r(\cos\theta + \sin\theta).

Passo 3

Substituindo o integrando e o elemento de volume, a integral fica
I = \int_{\theta=0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{r=0}^{1} \int_{z=0}^{2 - r(\cos\theta + \sin\theta)} \bigl(r\cos\theta\bigr)\;r\;dz\,dr\,d\theta.
Ou seja,
I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{1} r^2\cos\theta \Bigl[\int_{0}^{2 - r(\cos\theta + \sin\theta)}dz\Bigr] dr\,d\theta.

Passo 4

Calcule a integral em z:
\int_{0}^{2 - r(\cos\theta + \sin\theta)} \!dz = 2 - r\bigl(\cos\theta + \sin\theta\bigr).
Logo
I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{1} r^2\cos\theta\, \bigl(2 - r(\cos\theta + \sin\theta)\bigr) \,dr\,d\theta.

Passo 5

Expanda e separe a integral em r:
I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos\theta \Bigl[ \int_{0}^{1}\!2r^2\,dr - (\cos\theta + \sin\theta)\int_{0}^{1}\!r^3\,dr \Bigr] d\theta.
Calcule as integrais em r:
\int_{0}^{1}2r^2\,dr = \tfrac{2}{3}, \quad \int_{0}^{1}r^3\,dr = \tfrac{1}{4}.
Substituindo,
I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos\theta \Bigl(\tfrac{2}{3} - \tfrac{\cos\theta + \sin\theta}{4}\Bigr) d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \Bigl(\tfrac{2}{3}\cos\theta - \tfrac{\cos^2\theta + \sin\theta\cos\theta}{4}\Bigr) d\theta.

Passo 6

Separe em três integrais em \theta:
I = \tfrac{2}{3}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos\theta\,d\theta - \tfrac{1}{4}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^2\theta\,d\theta - \tfrac{1}{4}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin\theta\cos\theta\,d\theta.
Calcule cada uma:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos\theta\,d\theta = 1, \qquad \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^2\theta\,d\theta = \tfrac{\pi}{4}, \qquad \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin\theta\cos\theta\,d\theta = \tfrac12.
Portanto
I = \tfrac{2}{3}\cdot1 - \tfrac{1}{4}\cdot\tfrac{\pi}{4} - \tfrac{1}{4}\cdot\tfrac12 = \tfrac{2}{3} - \tfrac{\pi}{16} - \tfrac{1}{8}.

Resposta

I = \frac{13}{24} \;-\; \frac{\pi}{16}.

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