Questão 3. Calcule, em coordenadas cilíndricas,
, onde
é a região do primeiro octante limitada por
e o plano
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
é a região do primeiro octante
,
,
limitada pelo cilindro
e pelo plano
.
O conteúdo necessário é a mudança para coordenadas cilíndricas e a execução de uma integral tripla.
O conteúdo necessário é a mudança para coordenadas cilíndricas e a execução de uma integral tripla.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas temos
Como estamos no primeiro octante,
varia de
a
, e
varia de
a
(dado pelo cilindro). Para cada
,
vai de
até a superfície do plano, isto é,
Passo 3
Substituindo o integrando e o elemento de volume, a integral fica
Ou seja,
Passo 4
Calcule a integral em
:
Logo
Passo 5
Expanda e separe a integral em
:
Calcule as integrais em
:
Substituindo,
Passo 6
Separe em três integrais em
:
Calcule cada uma:
Portanto