Questão 4. Calcule, em coordenadas esféricas, \iiint_{D} z d V, onde D é a região do primeiro octante limitada por x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede calcular
\iiint_{D} z\,dV
onde D é a porção da bola x^{2}+y^{2}+z^{2}\le1 situada no primeiro octante. O conteúdo é integral tripla em coordenadas esféricas.

Passo 2

Em coordenadas esféricas usamos
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z=\rho\cos\varphi,
e o elemento de volume
dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Logo o integrando fica
z\,dV = (\rho\cos\varphi)\,(\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta) =\rho^{3}\cos\varphi\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 3

Os limites são
0\le \rho\le1,\quad 0\le \varphi\le \tfrac{\pi}{2},\quad 0\le \theta\le \tfrac{\pi}{2}.
Então a integral se separa como
\int_{0}^{\pi/2}\!\!\int_{0}^{\pi/2}\!\!\int_{0}^{1} \rho^{3}\cos\varphi\sin\varphi \,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 4

Integramos primeiro em \rho:
\int_{0}^{1}\rho^{3}\,d\rho =\biggl[\tfrac{\rho^{4}}{4}\biggr]_{0}^{1} =\tfrac{1}{4}.

Passo 5

Agora em \varphi:
\int_{0}^{\pi/2}\sin\varphi\cos\varphi\,d\varphi =\int_{0}^{\pi/2}\tfrac{1}{2}\sin(2\varphi)\,d\varphi =\bigl[-\tfrac{1}{4}\cos(2\varphi)\bigr]_{0}^{\pi/2} =\tfrac{1}{2}.

Passo 6

Por fim em \theta:
\int_{0}^{\pi/2}d\theta=\tfrac{\pi}{2}.
Multiplicando tudo:
\tfrac{\pi}{2}\times \tfrac{1}{2}\times \tfrac{1}{4} =\tfrac{\pi}{16}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{16}

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