3^a Questão: Calcule a derivada de:
f(x)=arctan (x^2-1)raizx^2-1

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=arctanl(x^2-1r)raizx^2-1
Aqui vamos usar as regras de derivação de quociente e a regra da cadeia para derivar cada parte ( arctan e raizcdot).

Passo 2

Definimos
g(x)=arctanl(u(x)r), u(x)=x^2-1,
e
h(x)=raizx^2-1=(x^2-1)^tfrac12
Então
f(x)=g(x)h(x)

Passo 3

Calculamos g'(x) e h'(x) usando regra da cadeia:
u'(x)=2x,
g'(x)=11+u(x)^2;u'(x) =2x1+(x^2-1)^2,
h'(x)=tfrac12,(x^2-1)^-tfrac12cdot 2x =xraizx^2-1

Passo 4

Aplicamos a regra do quociente:
f'(x) =g'(x),h(x)-g(x),h'(x)h(x)^2

Passo 5

Substituindo g, g', h, h' e simplificando, obtemos
f'(x) = 2x1+(x^2-1)^2;raizx^2-1 -arctanl(x^2-1r);xraizx^2-1 ,x^2-1,
Colocando tudo sobre o mesmo denominador (1+(x^2-1)^2)(x^2-1)^3/2 resulta
f'(x) =xl[2(x^2-1)-l(1+(x^2-1)^2r),arctan(x^2-1)r] l(1+(x^2-1)^2r),(x^2-1)^3/2

Resposta

f'(x) =xl[2(x^2-1)-l(1+(x^2-1)^2r),arctan(x^2-1)r] l(1+(x^2-1)^2r),(x^2-1)^3/2

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