Resolva cada um dos problemas de valor inicial dados nos itens seguintes.
y^prime prime-4 y^prime+3 y=0 ; y(0)=7, y^prime(0)=11

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 4y' + 3y = 0
e as condições iniciais y(0)=7 e y'(0)=11. Vamos resolver usando o método da equação característica.

Passo 2

Formamos a equação característica trocando y por e^rx:
r^2 - 4r + 3 = 0
Resolvendo essa equação quadrática, fatoramos
r^2 - 4r + 3 = (r-1)(r-3) = 0
de onde vêm as raízes r1 = 1 e r2 = 3. Logo, a solução geral é
y(x) = C1 e^x + C2 e^3x

Passo 3

Calculamos a derivada para aplicar as condições iniciais:
y'(x) = C1 e^x + 3C2 e^3x
Em x=0 temos o sistema
y(0)=C1 + C2 = 7, y'(0)=C1 + 3C2 = 11

Passo 4

Resolvendo o sistema
C1 + C2 = 7, C1 + 3C2 = 11,
subtraindo a primeira equação da segunda obtemos 2C2 = 4, logo C2 = 2 e C1 = 7 - 2 = 5. Portanto, a solução particular é
y(x) = 5e^x + 2e^3x

Resposta

y(x) = 5e^x + 2e^3x

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