3^a Questão: Calcule a derivada de:
h(x)=cos (2^x^4+3 x^2)+ln (tan x)(x^2+1)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
h(x)=cosl(2^x^4+3x^2r)+ln(tan x),(x^2+1)
Vamos usar:
– Regra da cadeia para cos composto com 2^u(x).
– Derivada de 2^u é 2^uln(2),u'.
– Regra do produto para ln(tan x),(x^2+1).
– Derivada de ln(tan x) e de x^2+1.

Passo 2

Derivada de cosl(2^x^4+3x^2r).
Defina u(x)=x^4+3x^2. Então
ddxl(2^u(x)r)=2^u(x)ln(2),u'(x) e u'(x)=4x^3+6x
Aplicando regra da cadeia em cos(v), com v=2^u(x), temos
ddxcosl(2^u(x)r) =-sinl(2^u(x)r)cdotddxl(2^u(x)r) =-sinl(2^x^4+3x^2r),2^x^4+3x^2ln(2),(4x^3+6x)

Passo 3

Derivada de ln(tan x),(x^2+1) usando regra do produto:
ddxl[ln(tan x),(x^2+1)r] =ddxln(tan x),(x^2+1) +ln(tan x),ddx(x^2+1)
Aqui
ddxln(tan x) =1tan xcdotsec^2x =sec^2xtan x, ddx(x^2+1)=2x
Logo
ddxl[ln(tan x),(x^2+1)r] =(x^2+1),sec^2xtan x +2x,ln(tan x)

Passo 4

Somando as derivadas dos dois termos, obtemos
h'(x) =-sinl(2^x^4+3x^2r),2^x^4+3x^2ln(2),(4x^3+6x) +(x^2+1),sec^2xtan x +2x,ln(tan x)

Resposta

h'(x) =-(4x^3+6x),2^x^4+3x^2ln(2),sinl(2^x^4+3x^2r) +(x^2+1),sec^2xtan x +2x,ln(tan x)

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