5 Resolva os PVIs
(2 y^2+4 x^2) d x-x y d y=0, y(1)=-2

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI
(2y^2+4x^2),dx ;-; x,y,dy = 0,
com a condição inicial y(1)=-2.
Este é um caso de EDO de primeira ordem homogênea, pois M(x,y)=2y^2+4x^2 e N(x,y)=-xy são homogêneas de grau 2. Vamos usar a substituição y=x,v.

Passo 2

Reescrevendo em forma explícita temos
dydx =2y^2+4x^2x,y =2,yx+4,xy

Passo 3

Fazendo a troca y=x,v implica
dydx =v + xdvdx
Substituindo em dydx=2v+4/v obtemos
v + xdvdx =2v + 4v Longrightarrow xdvdx =v + 4v

Passo 4

Separamos as variáveis:
vv^2+4,dv =dxx

Passo 5

Integramos ambos os lados:
integral vv^2+4,dv =integral dxx Longrightarrow 12lnl(v^2+4r) =lnlvert xrvert + C
Multiplicando por 2 e exponenciando dá
v^2+4 = C,x^2

Passo 6

Voltando a y usando v=y/x, temos
l(yxr)^2+4 = C,x^2 Longrightarrow y^2+4x^2=C,x^4

Passo 7

Aplicando a condição y(1)=-2 vem
(-2)^2+4cdot1^2=Ccdot1^4 Longrightarrow 4+4=C Longrightarrow C=8
Logo a relação implícita é
y^2+4x^2=8,x^4

Passo 8

Isolando y:
y^2=8x^4-4x^2 =4x^2(2x^2-1) Longrightarrow y=pm 2xraiz2x^2-1
Como y(1)=-2, escolhemos o sinal negativo.

Resposta

y(x)=-2,xraiz2x^2-1, |x|>=1raiz2

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