Questão 6. Derive as seguint es funções:
g(x)=\cos ^{2}(x)

Passo 1

O enunciado pede: derivar a função \,g(x)=\cos^{2}(x)\,.
Informações dadas: a função é o quadrado do cosseno de x; podemos considerar o domínio como \mathbb{R}. A tarefa única é encontrar g'(x).

Passo 2

Escolha do método e fórmula-chave (regra da cadeia). Vou usar a regra da cadeia porque \cos^{2}(x) é uma função composta: primeiro calculamos \cos x e depois elevamos ao quadrado. A regra da cadeia diz, para funções f e u,
(f\circ u)'(x)=f'(u(x))\cdot u'(x).
Aqui f é a função externa e u é a função interna. Explico: f'(u(x)) significa derivar f em relação à sua variável (chame-a de u) e depois substituir u=u(x); em seguida multiplicamos pelo derivado da função interna u'(x).

Passo 3

Definição das funções externa e interna. Tomemos
f(u)=u^{2}\quad\text{(função externa)}çã
u(x)=\cos x\quad\text{(função interna)}çã
Assim \,g(x)=f(u(x))=(\cos x)^{2}, que é exatamente \cos^{2}(x).

Passo 4

Derivadas das funções simples que precisamos. Derivamos cada peça:
f'(u)=2u
porque a derivada de u^{2} em relação a u é 2u.
E
u'(x)=\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x,
pois a derivada do cosseno é menos seno (essa é uma derivada trigonométrica básica).

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia: substituímos u(x)=\cos x em f'(u) e multiplicamos por u'(x). Portanto
g'(x)=f'(u(x))\cdot u'(x)=2\cos x\cdot(-\sin x).
Simplificando:
g'(x)=-2\sin x\cos x.

Passo 6

Simplificação final usando identidade trigonométrica (opcional, útil na prova). Usamos a identidade do ângulo duplo
\sin 2x = 2\sin x\cos x.
Logo
-2\sin x\cos x = -\sin 2x.
Portanto uma forma compacta e frequentemente mais conveniente para a resposta é -\sin 2x.

Passo 7

Verificação por outro método (checagem rápida): usando a identidade de potência
\cos^{2}x=\tfrac{1+\cos 2x}{2},
derivando obtemos
g'(x)=\tfrac{1}{2}\cdot\frac{d}{dx}(\cos 2x)=\tfrac{1}{2}\cdot(-\sin 2x)\cdot 2=-\sin 2x,
confirmação de que o resultado está correto. Dica para a prova: tanto a forma -2\sin x\cos x quanto -\sin 2x são válidas; escolha a que facilitar a conta seguinte.

Resposta

g'(x)=-\sin 2x

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