Questão 6. Derive as seguint es funções:
Passo 1
O enunciado pede: derivar a função
.
Informações dadas: a função é o quadrado do cosseno de ; podemos considerar o domínio como
. A tarefa única é encontrar
.
Informações dadas: a função é o quadrado do cosseno de
Passo 2
Escolha do método e fórmula-chave (regra da cadeia). Vou usar a regra da cadeia porque
é uma função composta: primeiro calculamos
e depois elevamos ao quadrado. A regra da cadeia diz, para funções
e
,
Aqui
é a função externa e
é a função interna. Explico:
significa derivar
em relação à sua variável (chame-a de
) e depois substituir
; em seguida multiplicamos pelo derivado da função interna
.
Passo 3
Definição das funções externa e interna. Tomemos
Assim
, que é exatamente
.
Passo 4
Derivadas das funções simples que precisamos. Derivamos cada peça:
porque a derivada de
em relação a
é
.
E
E
pois a derivada do cosseno é menos seno (essa é uma derivada trigonométrica básica).
Passo 5
Aplicando a regra da cadeia: substituímos
em
e multiplicamos por
. Portanto
Simplificando:
Passo 6
Simplificação final usando identidade trigonométrica (opcional, útil na prova). Usamos a identidade do ângulo duplo
Logo
Portanto uma forma compacta e frequentemente mais conveniente para a resposta é
.
Passo 7
Verificação por outro método (checagem rápida): usando a identidade de potência
derivando obtemos
confirmação de que o resultado está correto. Dica para a prova: tanto a forma
quanto
são válidas; escolha a que facilitar a conta seguinte.