Questão 5. Calcule as derivadas das funções abaixo:
\log _{2}\left(x^{3}+\sin x\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\log_{2}\bigl(x^{3}+\sin x\bigr).
O conteúdo envolvido é derivada de logaritmo de base a e regra da cadeia. Para isso, vamos lembrar que, se
g(x)=\log_{a}\bigl(u(x)\bigr),
então
g'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)\,\ln a}.
Aqui temos a=2 e u(x)=x^{3}+\sin x.

Passo 2

Calculamos primeiro a derivada de
u(x)=x^{3}+\sin x.
Usando derivada de potência e derivada de seno,
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(\sin x\bigr)=3x^{2}+\cos x.

Passo 3

Aplicamos a fórmula do passo 1 com u(x) e u'(x):
f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)\,\ln 2} =\frac{3x^{2}+\cos x}{\bigl(x^{3}+\sin x\bigr)\,\ln 2}.

Resposta

f'(x)=\frac{3x^{2}+\cos x}{\bigl(x^{3}+\sin x\bigr)\,\ln 2}.

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